Selectividad Andalucía 2016-Junio-B3

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En una encuesta sobre la nacionalidad de los veraneantes en un municipio de la costa andaluza, se ha observado que el 40\% de los encuestados son españoles y el 60\% extranjeros, que el 30\% de los españoles y el 80\% de los extranjeros residen en un hotel y el resto en otro tipo de residencia.
Se elige al azar un veraneante del municipio.
– a) ¿Cuál es la probabilidad de que no resida en un hotel?
– b) Si no reside en un hotel, ¿cuál es la probabilidad de que sea español?
– c) ¿Son independientes los sucesos “ser extranjero” y “residir en un hotel”?

SOLUCIÓN

a) Nos piden la probabilidad de H^c
Sumamos todas las rutas que acaban en H^c
P(H^c)=0.40 \cdot 0.70 + 0.60 \cdot 0.20 = \fbox{0.40}

b) Recordemos que las expresiones "sabiendo que" o "si" equivalen a una condicionada "/"
P(Español "sabiendo que" no Hotel) = P (E/H^c)
Aplicamos la fórmula de la propbabilidad condicionada

P (E/H^c) = \frac{P(E \cap H^c)}{P(H^c)}
Para calcular el numerador miramos el diagrama de árbol y usamos la ruta
\longrightarrow E \longrightarrow H^c
El denominador lo hemos calculado en el apartado anterior

P (E/H^c) = \frac{P(E \cap H^c)}{P(H^c)} = \frac{0.40 \cdot 0.70}{0.40}=\fbox{0.70}

c) A y B independientes \Longleftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
En nuestro caso:
E^c y H independientes \Longleftrightarrow P(E^c \cap H) = P(E^c) \cdot P(H)
Veamos si se cumple la igualdad:
Para calcular P(E^c \cap H) usamos la ruta del diagrama de árbol
P(E^c \cap H)=0.60 \cdot 0.80 = 0.48
En el otro lado del signo igual tenemos:
P(E^c) \cdot P(H) = 0.60 \cdot 0.60 = 0.36
Por tanto, no obtenemos el mismo resultado
0.48 \neq 0.36
P(E^c \cap H) \neq P(E^c) \cdot P(H) \Longleftrightarrow No son independientes.