Selectividad Andalucía 2018 Septiembre suplente A2

Se considera la función $f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x-5}{x-4} & si & x<3 \\ -x^2+7x-10 & si & x\geq 3 \end{array} \right.$

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función
– b) Calcule los puntos de corte de la gráfica de con los ejes de coordenadas.
– c) Calcule las asíntotas de , en caso de que existan.

SOLUCIÓN

– a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función

La función es derivable en R-{3} y su derivada vale

$f^{\prime}(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{(x-4)^2} & si & x<3 \\ -2x+7 & si & x > 3 \end{array} \right.$

Veamos si es derivable en el punto x=3

$f^{\prime}(3^-) = \frac{1}{(3-4)^2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$

$f^{\prime}(3^+) = -2 \cdot 3 + 7 =1$

Las derivadas laterales coinciden, por tanto es derivable en x=3

En resumen, f es derivable en todo R y su derivada vale:

$f^{\prime}(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{(x-4)^2} & si & x<3 \\ -2x+7 & si & x \geq 3 \end{array} \right.$

Al ser dervable en R, también es continua en todo R

– b) Calcule los puntos de corte de la gráfica de con los ejes de coordenadas.

Puntos de corte del primer trozo $y=\frac{x-5}{x-4}$

Si $x=0 \longrightarrow y=\frac{0-5}{0-4}=\frac{5}{4}$
Corta en el punto $\left(0, \frac{5}{4}\right)$

Si $y=0 \longrightarrow 0=\frac{x-5}{x-4} \longrightarrow 0=x-4 \longrightarrow x=5$
El punto (5,0) no está en su dominio x<3

Puntos de corte del segundo trozo

Si $x=0 \longrightarrow$ no pertenece al dominio $x \geq 3$

Si $y=0 \longrightarrow 0=-x^2+7x-10$
$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-7+3}{-2}=2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4 \cdot(-1)\cdot(-10)}}{2 \cdot(-1)}= \frac{-7\pm \sqrt{9}}{-2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-7-3}{-2}=5\end{array}$