Selectividad Andalucía 2018 Septiembre suplente A2

Se considera la función f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
\frac{x-5}{x-4} & si & x<3 \\
 -x^2+7x-10 & si & x\geq 3
\end{array}
\right.

- a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f
- b) Calcule los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes de coordenadas.
- c) Calcule las asíntotas de f, en caso de que existan.

SOLUCIÓN

- a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f

La función es derivable en R-{3} y su derivada vale

f^{\prime}(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{(x-4)^2} & si & x<3 \\
-2x+7 & si & x > 3
\end{array}
\right.

Veamos si es derivable en el punto x=3

f^{\prime}(3^-) = \frac{1}{(3-4)^2}=\frac{1}{(-1)^2}=1

f^{\prime}(3^+) = -2 \cdot 3 + 7 =1

Las derivadas laterales coinciden, por tanto es derivable en x=3

En resumen, f es derivable en todo R y su derivada vale:

f^{\prime}(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{(x-4)^2} & si & x<3 \\
-2x+7 & si & x \geq 3
\end{array}
\right.

Al ser dervable en R, también es continua en todo R

- b) Calcule los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes de coordenadas.

Puntos de corte del primer trozo y=\frac{x-5}{x-4}

Si x=0 \longrightarrow y=\frac{0-5}{0-4}=\frac{5}{4}
Corta en el punto \left(0, \frac{5}{4}\right)

Si y=0 \longrightarrow 0=\frac{x-5}{x-4} \longrightarrow 0=x-4 \longrightarrow x=5
El punto (5,0) no está en su dominio x<3

Puntos de corte del segundo trozo y=-x^2+7x-10

Si x=0 \longrightarrow no pertenece al dominio x \geq 3

Si y=0 \longrightarrow 0=-x^2+7x-10
\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-7+3}{-2}=2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4 \cdot(-1)\cdot(-10)}}{2 \cdot(-1)}=
 \frac{-7\pm \sqrt{9}}{-2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-7-3}{-2}=5\end{array}

La solución x=2 no pertenece al dominio x \geq 3
La solución x=5 si nos vale. Corta en el punto (5,0)

En resumen, los puntos de corte son \left(0, \frac{5}{4}\right) y (5,0)

- c) Calcule las asíntotas de f, en caso de que existan.

El segundo trozo -x^2+7x-10 no tiene asíntotas (las funciones polinómicas no tienen asíntotas).

el primer trozo \frac{x-5}{x-4} tiene asíntota vertical en x=4 pero está fuera de su dominio (x<3)

\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x-5}{x-4} = 1
Tiene asíntota horizontal y=1 por la izquierda