Selectividad Andalucía 2018 Septiembre suplente B2

– a) Calcule la derivada de las funciones

$f(x)=e^{5x} \cdot (x^2-5)^3 \qquad \qquad g(x)=\frac{(x^3+1)^2}{ln(x^2+2)}$

– b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x)=\frac{x+10}{x+5}$ , el punto de abscisa

SOLUCIÓN

a) $f(x)=e^{5x} \cdot (x^2-5)^3$

$f^{\prime}(x)= e^{5x} \cdot 5 \cdot (x^2-5)^3+ e^{5x} \cdot 3(x^2-5)^2 \cdot 2x$

Puesto que el enunciado no dice nada de simplificar, el resultado se puede quedar como está

$g(x)=\frac{(x^3+1)^2}{ln(x^2+2)}$

$g^{\prime}(x)= \frac{2(x^3+1)(3x^2) \cdot ln(x^2+2) - (x^3+1)^2 \cdot \frac{2x}{x^2+2}}{[ln(x^2+2)]^2}$

b) La fórmula para calcular la tangente a en el punto de abcisa es ñla siguiente:

$y-f(a) = f^{\prime}(a) \cdot (x-a)$

Para el punto y función sería:

$y-h(0) = h^{\prime}(0) \cdot (x-0)$

$h(0) = \frac{0+10}{0+5}=2$

$h^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot (x+5)-(x+10) \cdot 1}{(x+5)^2}$

$h^{\prime}(0)=\frac{1 \cdot (0+5)-(0+10) \cdot 1}{(0+5)^2}=\frac{-5}{25}=\frac{-1}{5}$

Por tanto la tangente es:

$y-2=\frac{-1}{5} \cdot (x-0)$

$\fbox{\bm{y=\frac{-1}{5} \cdot x +2}}$

Graficamos con geogebra para comprobar que los resultados son correctos