Selectividad Andalucía 2018 Septiembre suplente B2

- a) Calcule la derivada de las funciones

f(x)=e^{5x} \cdot (x^2-5)^3 \qquad \qquad g(x)=\frac{(x^3+1)^2}{ln(x^2+2)}

- b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h(x)=\frac{x+10}{x+5}, el punto de abscisa x=0

SOLUCIÓN

a) f(x)=e^{5x} \cdot (x^2-5)^3

f^{\prime}(x)= e^{5x} \cdot 5 \cdot (x^2-5)^3+ e^{5x} \cdot 3(x^2-5)^2 \cdot 2x

Puesto que el enunciado no dice nada de simplificar, el resultado se puede quedar como está

g(x)=\frac{(x^3+1)^2}{ln(x^2+2)}

g^{\prime}(x)= \frac{2(x^3+1)(3x^2) \cdot ln(x^2+2) - (x^3+1)^2 \cdot \frac{2x}{x^2+2}}{[ln(x^2+2)]^2}

b) La fórmula para calcular la tangente a f(x) en el punto de abcisa x=a es ñla siguiente:

y-f(a) = f^{\prime}(a) \cdot (x-a)

Para el punto x=0 y función h(x) sería:

y-h(0) = h^{\prime}(0) \cdot (x-0)

h(0) = \frac{0+10}{0+5}=2

h^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot (x+5)-(x+10) \cdot 1}{(x+5)^2}

h^{\prime}(0)=\frac{1 \cdot (0+5)-(0+10) \cdot 1}{(0+5)^2}=\frac{-5}{25}=\frac{-1}{5}

Por tanto la tangente es:

y-2=\frac{-1}{5} \cdot (x-0)

\fbox{\bm{y=\frac{-1}{5} \cdot x +2}}

Graficamos con geogebra para comprobar que los resultados son correctos