Selectividad Andalucía 2021-1 A1

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Un laboratorio farmacéutico tiene una línea de producción con dos medicamentos A y B, con marca comercial y genérico respectivamente, de los cuales, entre los dos como máximo puede fabricar 10 unidades a la hora. Desde el punto de vista del rendimiento, se han de producir al menos 4 unidades por hora entre los dos y por motivos de política sanitaria, la producción de A ha de ser como mucho 2 unidades más que la de B.
Cada unidad de tipo A que vende le produce un beneficio de 60 euros, mientras que cada unidad de tipo B le produce un beneficio de 25 euros. Si se vende todo lo que se produce, determine las unidades de cada medicamento que deberá fabricar por hora para maximizar su beneficio y obtenga el valor de dicho beneficio.

SOLUCIÓN

Sea "x" la cantidad de unidades del medicamento A.
Sea "y" la cantidad de unidades del medicamento B.

Las inecuaciones serían:

La cantidad de unidades a fabricar no puede ser negativa:
$x \geq 0$
$y \geq 0$

Entre los dos como máximo puede fabricar 10 unidades
$x + y \leq 10$

Se han de producir al menos 4 unidades por hora entre los dos
$x+y \geq 4$

La producción de A ha de ser como mucho 2 unidades más que la de B
$x \leq y+2$

La función objetivo:

Los vértices A y B están claros.
Debemos calcular los vértices C y D.

Para calcular el vértice C debemos resolver el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por C

$\left. x = y+2 \atop x + y = 10 \right\}$

Se obtienen como soluciones $x=6 \quad ; \quad y=4$

Para calcular el vértice D debemos resolver el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por D

$\left. x = y+2 \atop x + y = 4 \right\}$

Se obtienen como soluciones $x=3 \quad ; \quad y=1$

Los vértices son

Aplicamos la función objetivo a cada uno de los vértices:

$F(0,4) = 60 \cdot 0 + 25 \cdot 4 = 100$

$F(0,10) = 60 \cdot 0 + 25 \cdot 10 = 250$

$F(6,4) = 60 \cdot 6 + 25 \cdot 4 = \fbox{460}$

$F(3,1) = 60 \cdot 3 + 25 \cdot 1 = 205$

Por tanto, el beneficio máximo será 460 euros cuando fabrique 6 unidades del medicamento A y 4 unidades del medicamento B.

Palabras clave