Propiedades de de los determinantes

Propiedades de los determinantes

Conocer las propiedades de los determinantes nos facilitará su cálculo

- El det. de una matriz es igual al det. de su traspuesta
|A| = |A^t|

- El det. de un producto de matrices es igual al producto de los det. de ambas matrices
|A \cdot B| = |A| \cdot |B|

- Si en un det. intercambiamos dos líneas (filas o columnas) el det. cambia de signo
\left|
\begin{array}{cccc}
     a & 2 & 3
  \\ b & 5 & 6
  \\ c & 8 & 0
\end{array}
\right| = -
\left|
\begin{array}{cccc}
     2 & a & 3
  \\ 5 & b & 6
  \\ 8 & c & 0
\end{array}
\right|

- Si en un det. alguna de las líneas son todo ceros, el det. vale cero.
\left|
\begin{array}{cccc}
     0 & 2 & 3
  \\ 0 & 5 & 6
  \\ 0 & 8 & 0
\end{array}
\right| = 0

- Un det. con dos filas iguales (o dos columnas iguales) vale cero.
\left|
\begin{array}{cccc}
     a & a & 3
  \\ b & b & 6
  \\ c & c & 0
\end{array}
\right| =0

- Un det. con dos filas proporcionales (o dos columnas proporcionales) vale cero.
\left|
\begin{array}{cccc}
     2 & 4 & 1
  \\ 2 & 4 & 3
  \\ 3 & 6 & 0
\end{array}
\right| =0

- Si multiplicamos por un número una línea de un det., el valor del det. también queda multiplicado por dicho número.
\left|
\begin{array}{cccc}
     5\cdot1 & a & 3
  \\ 5\cdot2 & b & 6
  \\ 5\cdot3 & c & 0
\end{array}
\right| =5 \cdot 
\left|
\begin{array}{cccc}
     1 & a & 3
  \\ 2 & b & 6
  \\ 3 & c & 0
\end{array}
\right|

- Cuando una línea puede descomponerse en suma de dos sumandos , el det. puede descomponerse en una suma de det.
\left|
\begin{array}{cccc}
     a+b & 2 & 3
  \\ c+d & 5 & 6
  \\ e+f & 8 & 0
\end{array}
\right| =
\left|
\begin{array}{cccc}
     a & 2 & 3
  \\ c & 5 & 6
  \\ e & 8 & 0
\end{array}
\right| +
\left|
\begin{array}{cccc}
     b & 2 & 3
  \\ d & 5 & 6
  \\ f & 8 & 0
\end{array}
\right|

- Si a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal de otras filas (o columnas) el determinante sigue valiendo lo mismo.