ecuaciones logaritmicas

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Resuelve la ecuación: - \log {\frac{x}{2}} + 2 \log {x} = \log {32}

SOLUCIÓN

Para resolver una ecuación logarítmica debemos tener clara la definición de logaritmo y las propiedades de los logaritmos.

Una vez que tengamos claro lo anterior, debemos entender la estrategia a seguir (que suele ser siempre la misma):

Debemos dejar a cada lado del signo igual un sólo logaritmo obteniendo una expresión del tipo:

\log (A) = \log (B)


en la que podremos cancelar logaritmos quedando:

(A) = (B)

Para conseguir un sólo logaritmo a cada lado del signo igual usaremos las propiedades de los logaritmos:
1) primero pasamos al exponente los números que multipliquen a un logaritmo
2) después transformamos sumas en producto y restas en división

- \log {\frac{x}{2}} + 2 \log {x} = \log {32}

2 \log {x} = \log {32} + \log {\frac{x}{2}}
\log {x^2} = \log {\left( 32 \cdot \frac{x}{2}\right)}
x^2 = 32 \cdot \frac{x}{2}
x^2 = 16x
x^2 - 16x = 0
x(x- 16) = 0

Soluciones: \fbox{x = 0} y \fbox{x = 16}

En las ecuaciones logarítmicas debemos verificar las soluciones.
La solución x=0 no es correcta (pues en la ecuación original obtendríamos log (0)). Debemos recordar que no existen los logaritmos de cero ni de números negativos.
Por tanto la única solución es: \fbox{x = 16}