ecuaciones logaritmicas

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Resuelve la ecuación \log{x} - \frac{1}{2} \cdot \log{32} = \frac{1}{2} \cdot \log{\frac{x}{2}}

SOLUCIÓN

Para resolver una ecuación logarítmica debemos tener clara la definición de logaritmo y las propiedades de los logaritmos.

Una vez que tengamos claro lo anterior, debemos entender la estrategia a seguir (que suele ser siempre la misma):

Debemos dejar a cada lado del signo igual un sólo logaritmo obteniendo una expresión del tipo:

\log (A) = \log (B)


en la que podremos cancelar logaritmos quedando:

(A) = (B)

Para conseguir un sólo logaritmo a cada lado del signo igual usaremos las propiedades de los logaritmos:
1) primero pasamos al exponente los números que multipliquen a un logaritmo
2) después transformamos sumas en producto y restas en división

\log{x} - \frac{1}{2} \cdot \log{32} = \frac{1}{2} \cdot \log{\frac{x}{2}}
\log{x} = \frac{1}{2} \cdot \log{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \log{32}
\log{x} = \frac{1}{2} \cdot \left( \log{\frac{x}{2}} + \log{32} \right)
\log{x} = \frac{1}{2} \cdot \log{\left( \frac{x}{2} \cdot 32 \right)}
\log{x} = \frac{1}{2} \cdot \log{\left( 16x \right)}
\log{x} = \log \left( 16x \right)^{\frac{1}{2}}
x = \left( 16x \right)^{\frac{1}{2}}
x = \sqrt{16x}
x^2 = \left( \sqrt{16x} \right)^2
x^2 = 16x
x^2 - 16x = 0
x \cdot (x - 16) = 0

– x= 0
– x - 16 = 0 \longrightarrow x=16

Soluciones: \fbox{x = 0} y \fbox{x = 16}

En las ecuaciones logarítmicas debemos verificar las soluciones.
La solución x=0 no es correcta, pues en la ecuación original obtendríamos log (0). Debemos recordar que no existen los logaritmos de cero ni de números negativos.
Por tanto la única solución es: \fbox{x = 16}