Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Representa gráficamente la función:
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} -x^2 & si & x \leq 0\\ x+1 & si & x > 0 \end{array} \right.$

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Dibuja unos ejes de coordenadas y representa los puntos P(2,5) y Q(3,-2)

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Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola $y=x^2$ y la recta $y=1$ en dos regiones de igual área mediante la recta $y=a$ . Halla el valor de $a$

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Sea $f$ la función definida para $x \neq 1$ por $f(x) = \frac{2x^2}{x-1}$

– (a) Determina las asíntotas de la gráfica de $f$
– (b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de $f$
– (c) Esboza la gráfica de $f$

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Sea la función $f: R \longrightarrow R$ definida por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 5x+10 & si & x \leq -1 \\ \\ x^2-2x+2 & si & x > -1 \end{array} \right.$

– (a) Esboza la gráfica de $f$
– (b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f$ , el eje de abcisas y la recta $x=3$

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Siendo $Ln(x)$ el logaritmo neperiano de $x$ , calcula:

$\lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{Ln(x)} \right)$

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x) = |8 - x^2|$

– (a) Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de $f$ (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores)
– (b) Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con la recta tangente a la misma en el punto de abcisa $x=-2$

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Siendo $Ln(x)$ el logaritmo neperiano de $x$ , considera la función $f : (0, +\infty) \longrightarrow R$ definida por $f(x) = x \cdot Ln(x)$ . calcula:

– (a) $\int f(x) dx$
– (b) Una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(1,0)$

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De la función $f : R \longrightarrow R$ se sabe que $f\textsc{\char13} \textsc{\char13}(x) = x^2 + 2x +2$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1,2)$ . Halla la expresión de $f$

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Se sabe que la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = x^3 + ax^2 + bx + c$
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 0$ y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = -1$ . Conociendo además que $\int_0^1 f(x) dx = 6$ , halla $a$ , $b$ y $c$ .

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Dadas la parábola de ecuación $y = 1 + x^2$ y la recta de ecuación $y = 1 + x$ , se pide:

– (a) Área de la región limitada por la recta y la parábola.
– (b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

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Considera la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = (x+3) \cdot e^{-x}$

– (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f
– (b) Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica
– (c) Esboza la gráfica de f

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Sea la función $f: R \longrightarrow R$ definida por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2+3 & si & x \leq 1 \\ \\ 2-x^2 & si & x > 1 \end{array} \right.$

– (a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de $f$ en $x=1$
– (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$

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Sea la función $f: R \longrightarrow R$ definida por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2+3 & si & x \leq 1 \\ \\ 2-x^2 & si & x > 1 \end{array} \right.$

– (a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de $f$ en $x=1$
– (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$

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Sea $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = \sqrt[3]{x}$

– (a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa $x = 1$ .
– (b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida.
– (c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

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Sea $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = \sqrt[3]{x}$

– (a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa $x = 1$ .
– (b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida.
– (c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

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Considera la función $f$ definida para $x \neq 2$ por $f(x) = \frac{2x^2+2}{x+2}$

– (a) Halla las asíntotas de la gráfica de $f$
– (b) Estudia la posición relativa de la gráfica de $f$ respecto de sus asíntotas

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– a) Halle la función derivada de la función $f(x)=L \frac{x}{x+1}$ y simplifique el resultado.
– b) Obtenga las asíntotas de la función $f(x)=\frac{2x+3}{3x-1}$
– c) Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$

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Sea la función $f(x)=\frac{4x-1}{2x-2}$

– a) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y
represéntela gráficamente.
– b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ .

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Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado):

– a) $f(x)=\frac{3x-1}{x} - (5x-x^2)^2$
– b) $g(x)=(x^2-1) L x$
– c) $h(x)=2^{5x}$
– d) $i(x)=(x^3-6x) (x^2+1)^3$

📝 Ejercicios de funciones