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problema programación lineal

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Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan dos ofertas: A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se vende a 30 euros. La oferta B consiste en un lote de 3 camisas y 1 pantalón y se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A, ni menos de 10 lotes de la oferta B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar las ganancias?

SOLUCIÓN

– Hacemos el cuadro con los datos del problema:

oferta A oferta B Restricciones Inecuaciones
camisas 1 3 máximo 200 x+3y \leq 200
pantalones 1 1 máximo 100 x+y \leq 100
cantidad x y x \geq 20
y \geq 10
precio 30 50

Función objetivo: F(x,y)=30x+50y

– Dibujamos las inecuaciones y la región factible

– Calculamos los vértices de la región factible (resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones de las dos rectas que pasan por cada vértice)

A modo de ejemplo, para el vértice C sería:
C\left\{ 3x + y = 200 \atop x + y = 100 \right.
Resolvemos por sustitución:
y=100-x
3x + (100-x) = 200 \longrightarrow 2x=100 \longrightarrow x=50
y=100-x \longrightarrow y=100-50 \longrightarrow y=50

Los vértices son:
A(20,10)
B(20,60)
C(50,50)
D(90,10)

– Aplicamos la función objetivo a cada uno de los vértices:
F(x,y)=30x+50y
F(20,10)=30 \cdot 20 +50 \cdot 10 = 600+500=1100
F(20,60)=30 \cdot 20 +50 \cdot 60=600+3000 = 3600
F(50,50)=30 \cdot 50 +50 \cdot 50 = 1500 + 2500 = 4000
F(90,10)=30 \cdot 90 +50 \cdot 10=2700+500=3200

El máximo es 4000 y lo alcanza en el punto (50,50)

Por tanto, tiene que vender 50 lotes de la oferta A y otros 50 de la oferta B para obtener una ganancia máxima de 4000 euros