Matemáticas IES - Matemáticas IES

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(a) Discute según los valores del parámetro $\lambda$ el siguiente sistema

$\begin{cases} 3x + \lambda y = 0 \\ x + \lambda z = \lambda \\ x + y + 3z = 1 \end{cases}$

(b) Resuélvelo para $\lambda = 0$ .

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Sean las matrices

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\quad y\quad C = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Determina la matriz $X$ que verifica $AX - B^t = 2C$ ( $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$ ).

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Se considera la función $f : [1, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \sqrt{x^2 - x} + x$ Determina la asintota de la gráfica de $f$ .

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Sean $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz $B$ de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
(a) El determinante de $B^{-1}$ .
(b) El determinante de $(B^t)^4$ ( $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$ ).
(c) El determinante de $2B$ .
(d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, $5F_1 - F_3$ , $3F_3$ , $F_2$ .

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Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30\% de las cajas.

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Calcula el siguiente límite (ln denota logaritmo neperiano), $\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{\ln(x)} - \frac{2}{x^2 - 1} \right)$

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Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$
(a) Calcula, si existe, la matriz inversa de $A$ .
(b) Calcula las matrices $X$ e $Y$ que satisfacen las ecuaciones matriciales $XA = A + 2B$ y $AY = A + 2B$ .

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Dado el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{cases} x + \lambda y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \\ \lambda x + y + z = 4 \end{cases}$

(a) Discútelo según los valores del parámetro $\lambda$ .

(b) Resuélvelo en el caso $\lambda = 1$ .

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Se sabe que la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida como

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + bx + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ ax^2 - 5x + 2a & \text{si } x > 1 \end{cases}$

es derivable. Determina los valores de $a$ y $b$ .

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(a) Calcula $\int x \sen x\, dx$ .
(b) Sean las funciones $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definidas por $f(x) = -x^2 + 1,\quad g(x) = x - 1$ Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas.

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De todos los triángulos cuya base y altura suman $20$ cm, ¿qué base tiene el de área máxima?

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica:

– El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f
– f tiene un mínimo local en el punto de abcisa x=1
– La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa x=2 tiene pendiente 1

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Se divide un segmento de longitud L=20 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble que la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima

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De entre todos los rectángulos cuya área mide $16 cm^2$ , determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{1}{x-1} & si & x < 0 \\ \\ x^2-3x-1 & si & x \geq 0 \end{array} \right.$

– a) Estudia la continuidad y dervabilidad
– b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos
– c) Esboza la gráfica de f

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Se sabe que la función $f: R \longrightarrow R$ definida por

$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$

tiene extremos relativos en (0,0) y en (2,2). Calcula a,b,c,d

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Considera el punto $A(1,-2,1)$ y la recta $r$ definida por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x+y &=&2 \\2x+y+z&=&7 \end{array} \right.$

– a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
– b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

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Considera el punto $P(1,0,0)$ , la recta $r$ definida por $x-3=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-2}$ y la recta $s$ definida por $(x,y,z) = (1,1,0) + \lambda (-1, 2, 0)$ .

– (a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$
– (b) Halla la ecuación del plano que pasando por $P$ es paralelo a $r$ y $s$ .

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Se considera la recta r definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x &=&1 \\y&=&1 \\z&=&\lambda -2 \end{array} \right.$
y la recta s definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x &=&\mu \\y&=&\mu-1 \\z&=&-1 \end{array} \right.$
Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s

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Sea la recta $r$ definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y &=&0 \\3x+z&=&0 \end{array} \right.$

– a) Determine la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,1,1)$
– b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades

📝 Ejercicios de MatematicasII_Andalucia_2009