Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sea la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{x} & \text{si } x \leq 1 \\ x^2 - 4x + 5 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función.

b) Representela gráficamente.

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Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
$x + y \leq 3; \quad -x + y \leq 3; \quad x \leq 2; \quad y \geq 0$

a) (1 punto) Represéntelo gráficamente.

b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto.

c) (0.5 puntos) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función objetivo $F(x, y) = -2x - y$ ? ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?

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Se sabe que los años de vida de los individuos de una población es una variable aleatoria Normal con desviación típica $8.9$ años. Una muestra aleatoria de $100$ individuos de esa población mostró una vida media de $71.8$ años. Mediante un contraste de hipótesis unilateral, ¿puede afirmarse con los datos anteriores que la vida media es mayor de $70$ años, a un nivel de significación $\alpha = 0.05$ ?

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a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:

$x \leq 2; \quad y \geq -4x + 8; \quad 3y - 4x - 16 \leq 0.$

b) (0.5 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función $F(x, y) = 3x - y$ , y los puntos donde se alcanzan.

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Sea la función $f(x)=\begin{cases} -x^2-2ax+3 & \text{si } x\leq 1 \\ ax^2-6x+5 & \text{si } x>1 \end{cases}$

a) Calcule el valor de $a$ para que $f$ sea continua en $x=1$ .

b) Para $a=1$ , represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales.

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En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un $40\%$ . Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a $50$ sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron $14$ . A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación $0.015$ , ¿se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis $H_0 : p \ge 0.4$ , donde $p$ es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco?

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a) La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica $11$ cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a $1$ cm, con un nivel de confianza del $98\%$ .

b) Dada la población $\{10, 12, 17\}$ , escriba todas las muestras de tamaño $2$ mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.

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Se desea estimar la proporción de votantes a un determinado partido político mediante una muestra aleatoria.

a) Si de una muestra de 500 personas 200 dicen que lo votan, calcule con un nivel de confianza del 97\% un intervalo para la proporción de votantes a ese partido en la población.

b) Si la proporción de votantes en otra muestra ha sido $0.2$ y el error cometido en la estimación ha sido inferior a $0.05$ , con un nivel de confianza del 99\%, calcule el tamaño mínimo de dicha muestra.

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Se sabe que el tiempo de reacción a un determinado estímulo se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica $0.2$ segundos.

a) Observada una muestra aleatoria de tamaño $25$ se ha obtenido una media muestral de $0.3$ segundos. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de confianza del $94\%$ .

b) A un nivel de confianza del $90\%$ , ¿cuál será el tamaño muestral mínimo si el error cometido es inferior a $0.05$ ?

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Se considera el recinto del plano determinado por los siguientes semiplanos:
$4x - y \geq 4; \quad 2x + y \leq 15; \quad 3y - x \leq 10; \quad y \geq 0.$

a) Represente el recinto y calcule sus vértices.

b) Calcule los puntos del recinto donde la función $F(x, y) = 4x - 7y$ alcanza el máximo y el mínimo.

c) ¿Entre qué valores varía la función $F(x, y) = 4x - 7y$ en el recinto?

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Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Calcule $A^t \cdot B - A \cdot B^t$ .

b) Resuelva la ecuación matricial $AX + BA = B$ .

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Sea la función $f(x) = 2x^2 - \frac{1}{3}x^3$ . Calcule:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Las coordenadas de sus extremos relativos.

c) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.

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Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de $88$ kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, $10$ de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos:
$80,\ 83,\ 87,\ 95,\ 86,\ 92,\ 85,\ 83,\ 84,\ 95.$
Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica $5$ kg.
a) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación $\alpha = 0{,}05$ .
b) Con los datos de esta muestra, ¿qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación?

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Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes:
$x + y \leq 15; \quad x \leq 2y; \quad 0 \leq y \leq 6; \quad x \geq 0$
a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto.
b) (1 punto) Calcule sus vértices.
c) (0.5 puntos) Determine el máximo valor de la función $F(x, y) = 8x + 5y$ en el recinto anterior y dónde se alcanza.

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a) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

$f(x)=\left(\frac{2-5x}{3}\right)^2 + \frac{1-2x}{x^2}; \quad g(x)=(3x+2)^2 \cdot \ln(1+x^2).$

b) Halle las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de $h(x)=\dfrac{1+2x}{x-2}$ .

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El peso de los sacos de patatas de una cooperativa es una variable aleatoria Normal con desviación típica $0.25$ kg. El agente de ventas de esa cooperativa afirma que el peso medio de los sacos no baja de $5$ kg.

Se desea contrastar estadísticamente esta hipótesis. Para ello se toma una muestra aleatoria de $20$ sacos y se obtiene que su peso medio es de $4.8$ kg.

a) Determine las hipótesis del contraste que se plantea en este enunciado.

b) Halle la región crítica de este contraste para $\alpha = 0.01$ .

c) Con los datos de la muestra tomada, ¿puede decirse que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis del agente de ventas de la cooperativa, al nivel de significación $\alpha = 0.01$ ?

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En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión $B(x) = 0.5x^2-4x+6$ , siendo x la inversión en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo $[0,10]$ .

– a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?
– b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?
– c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?

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De los sucesos aleatorios $A$ y $B$ del mismo espacio de sucesos se sabe que:
$P(A)=\frac{2}{3}$ , $P(B)=\frac{3}{4}$ y $P(A \cap B)=\frac{5}{8}$ . Calcule:

– a) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.
– b) La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.
– c) La probabilidad de que ocurra $A$ si se ha verificado $B$ .

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Una máquina de envasado está diseñada para llenar bolsas con 300 g de almendras. Para comprobar si funciona correctamente, se toma una muestra de 100 bolsas y se observa que su peso medio es de 297 g. Suponiendo que la variable “peso” tiene una distribución Normal con varianza 16, y utilizando un contraste bilateral ¿es aceptable, a un nivel de significación de 0.05, que el funcionamiento de la máquina es correcto?

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El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, $f(x)$ , dependen de la inversión, $x$ , según la función $f(x)=-x^2+11x-10$ . (x es la cantidad invertida en millones de euros).

– a) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa.
– b) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste?
– c) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo?

📝 Ejercicios de Matemat_Soc_Andalucia_2010