Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

 Podemos calcular un determinante, de cualquier orden, desarrollándolo por los elementos de una línea (fila o columna).
 Usaremos este método para determinantes de orden 4 o superior.
 También podemos usarlo para determinantes de orden 3 (aunque en este caso tenemos como alternativa la Regla de Sarrus.

 El método se basa en la siguiente propiedad: «Un determinante es igual a la suma de los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos».
 Podemos desarrollarlo por la fila o columna que elijamos. En la práctica se elige la línea que contenga más ceros (para hacer menos cálculos)

Ejemplo: Desarrollamos un det. por los elementos de la primera fila

\left|
\begin{array}{ccc}
     a_{11} & a_{12} & a_{13}
  \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}
  \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13}

Ejemplo numérico:

\left|
\begin{array}{ccc}
    0 & 1 & 2
\\ 3 & 4 & 5
\\ 6 & 7 & 8
\end{array}
\right| = 
 0 \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
 4 & 5
\\ 7 & 8
\end{array}
\right|
- 1 \cdot
\left|
\begin{array}{cc}
 3 & 5
\\ 6 & 8
\end{array}
\right|
+ 2 \cdot
\left|
\begin{array}{cc}
 3 & 4
\\ 6 & 7
\end{array}
\right| =
0 - 1\cdot(-6) + 2 \cdot (-3) = 0

NOTA: Hemos cambiado el signo del segundo sumando porque 1+2 es impar.

Puedes calcular cualquier determinante de orden 3 en el siguiente enlace:
Calcular determinante online