Distribución muestral de proporciones

De una población de 120 alumnos, hay 48 que tienen 2 o más hermanos. Si de dicha población se toman muestras de tamaño 40.
- a) ¿Qué distribución siguen las proporciones muestrales?.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre en dicha muestra una proporción de más del 55 \% de alumnos con 2 o más hermanos?.

SOLUCIÓN

- a) Las proporciones muestrales se ajustan a una distribución normal de media p y desviación típica \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} siendo n el tamaño de la muestra y p la proporción de la población (o la proporción de la muestra cuando la de la población es desconocida)

N\left(p,  \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}  \right)

En nuestro caso
n=40 y p=\frac{48}{120} = 0.4
Por tanto, seguirán una distribución normal con estos parámetros:

N\left(0.4,  \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{40}}  \right)=N(0.4,\sqrt{0.006}

- b) P[\overline{p}>0.55] \stackrel{*}{=} P\left[ Z > \frac{0.55-0.4}{\sqrt{0.006}} \right]=
(*) Tipificamos la variable
=P\left[ Z > 1.94 \right] = 1 - P[Z \leq 1.94] \stackrel{*}{=}1-0.9738=0,0261
(*) Valor mirado en la Tabla de la N(0,1)