Inferencia Estadística

Una encuesta realizada sobre 40 aviones comerciales revela que la antigüedad media de estos es de 13,41 años, con una desviación típica de 8,28 años. Se pide:

– a) ¿Entre qué valores, con un $90\%$ de confianza, se encuentra la auténtica media de la flota comercial?
– b) Si se quiere obtener un nivel de confianza del $95\%$ cometiendo el mismo error de estimación que en el apartado anterior y suponiendo también que la desviación típica muestral es de 8,28 años, ¿cuántos elementos debería componer la muestra?

SOLUCIÓN

– a) Nos piden un intervalo de confianza para la media, cuya fórmula sabemos que es:

$I = \left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

El enunciado nos proporciona los siguientes datos:
(tamaño de la muestra)
$\overline{x} = 13.41$ (media de la muestra)
$\sigma = 8.28$ (desviación típica)
confianza: $90 \: \%$

Tenemos todos los datos necesarios para el intervalo, excepto el valor crítico () que se calcula a partir de la confianza:

Valor crítico para una confianza del $90 \%$
$P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.90}{2}$
$P(Z \leq z_c) =0.95$
Miramos la tabla de la N(0,1) y obtenemos

Por tanto el intervalo será:

$I = \left( 13.41-1.645 \cdot \frac{8.28}{\sqrt{40}}, 13.41+1.645 \cdot \frac{9.28}{\sqrt{40}}\right)$

$I = \left( 13.41-2.15, 13.41+2.15 \right)$

$I = \left( 11.26, 15.56 \right)$

Los resultados están aproximados a las centésimas (2 decimales) puesto que los datos que nos aporta el problema van con 2 decimales.

– b) Nos pide el tamaño de la muestra (n) con estos datos:
confianza: $95 \: \%$
Error: el mismo que apartado anterior ()
$\sigma = 8.28$ (desviación típica).