Inferencia Estadística

Una encuesta realizada sobre 40 aviones comerciales revela que la antigüedad media de estos es de 13,41 años, con una desviación típica de 8,28 años. Se pide:

a) ¿Entre qué valores, con un $90\%$ de confianza, se encuentra la auténtica media de la flota comercial?
b) Si se quiere obtener un nivel de confianza del $95\%$ cometiendo el mismo error de estimación que en el apartado anterior y suponiendo también que la desviación típica muestral es de 8,28 años, ¿cuántos elementos debería componer la muestra?

SOLUCIÓN

a) Nos piden un intervalo de confianza para la media, cuya fórmula sabemos que es:

$I = \left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

El enunciado nos proporciona los siguientes datos:
(tamaño de la muestra)
$\overline{x} = 13.41$ (media de la muestra)
$\sigma = 8.28$ (desviación típica)
confianza: $90 \: \%$

Tenemos todos los datos necesarios para el intervalo, excepto el valor crítico () que se calcula a partir de la confianza:

Valor crítico para una confianza del $90 \%$
$P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.90}{2}$
$P(Z \leq z_c) =0.95$
Miramos la tabla de la N(0,1) y obtenemos

Por tanto el intervalo será:

$I = \left( 13.41-1.645 \cdot \frac{8.28}{\sqrt{40}}, 13.41+1.645 \cdot \frac{9.28}{\sqrt{40}}\right)$

$I = \left( 13.41-2.15, 13.41+2.15 \right)$

$I = \left( 11.26, 15.56 \right)$

Los resultados están aproximados a las centésimas (2 decimales) puesto que los datos que nos aporta el problema van con 2 decimales.

b) Nos pide el tamaño de la muestra (n) con estos datos:
confianza: $95 \: \%$
Error: el mismo que apartado anterior ()
$\sigma = 8.28$ (desviación típica).