Inferencia Estadística

Una encuesta realizada sobre 40 aviones comerciales revela que la antigüedad media de estos es de 13,41 años, con una desviación típica de 8,28 años. Se pide:

- a) ¿Entre qué valores, con un 90\% de confianza, se encuentra la auténtica media de la flota comercial?
- b) Si se quiere obtener un nivel de confianza del 95\% cometiendo el mismo error de estimación que en el apartado anterior y suponiendo también que la desviación típica muestral es de 8,28 años, ¿cuántos elementos debería componer la muestra?

SOLUCIÓN

- a) Nos piden un intervalo de confianza para la media, cuya fórmula sabemos que es:

I = \left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},  \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

El enunciado nos proporciona los siguientes datos:
n = 40 (tamaño de la muestra)
\overline{x} = 13.41 (media de la muestra)
\sigma = 8.28 (desviación típica)
confianza: 90 \: \%

Tenemos todos los datos necesarios para el intervalo, excepto el valor crítico (z_c) que se calcula a partir de la confianza:

Valor crítico para una confianza del 90 \%
P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.90}{2}
P(Z \leq z_c) =0.95
Miramos la tabla de la N(0,1) y obtenemos z_c=1.645

Por tanto el intervalo será:

I = \left( 13.41-1.645 \cdot \frac{8.28}{\sqrt{40}},  13.41+1.645 \cdot \frac{9.28}{\sqrt{40}}\right)

I = \left( 13.41-2.15,  13.41+2.15  \right)

I = \left( 11.26, 15.56 \right)

Los resultados están aproximados a las centésimas (2 decimales) puesto que los datos que nos aporta el problema van con 2 decimales.

- b) Nos pide el tamaño de la muestra (n) con estos datos:
confianza: 95 \: \%
Error: el mismo que apartado anterior (E=2.15)
\sigma = 8.28 (desviación típica).

Debemos calcular el z_c de nuevo porque la confianza es distinta en este apartado.
Cálculo del valor crítico z_c

P(Z \leq z_c) = \frac{1+nivel \:confianza}{2}
P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.95}{2}
P(Z \leq z_c) =0.975
Miramos la tabla de la N(0,1) y obtenemos z_c=1.96

Ahora aplicamos la fórmula del Error y despejamos y calculamos "n"

E = z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

2.15 = 1.96 \cdot \frac{8.28}{\sqrt{n}}

 \sqrt{n}= 1.96 \cdot \frac{8.28}{2.15}

 n= \left(  \frac{1.96 \cdot 8.28}{2.15} \right)^2=56.97 \cdots

Por tanto el tamaño de la muestra debe ser \fbox{n = 57}