En este ejemplo
hacemos un cambio de variable y la transformamos en una integral racional.
Hacemos el cambio:
![1+e^x = t 1+e^x = t](local/cache-vignettes/L92xH42/7d917e31959d03d88c46fb45fd4e4429-1173e.png?1688094250)
Derivamos (a la izquierda respecto de "x" y a la derecha respecto de "t")
![e^x dx = dt e^x dx = dt](local/cache-vignettes/L90xH42/ab9ced826613f57ce71c30e9ef24414f-8e015.png?1688094250)
Con lo cual:
![dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t-1} dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t-1}](local/cache-vignettes/L142xH67/d9e502a4935fa5973622bc53489238d3-3e285.png?1688094250)
Ahora sustituimos:
Es aconsejable repasar el método para integrales racionales con raíces reales simples.
![\frac{1}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1} = \frac{A(t-1)+Bt}{t(t-1)} \frac{1}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1} = \frac{A(t-1)+Bt}{t(t-1)}](local/cache-vignettes/L335xH70/46ba82a81cbf79bf4cb2ead5f688fbb5-58b73.png?1688094250)
En la expresión
sustituimos t por valores simples para calcular A y B
Si ![t=0 \longrightarrow 1=-A \longrightarrow A=-1 t=0 \longrightarrow 1=-A \longrightarrow A=-1](local/cache-vignettes/L265xH40/dca5736ecc13767b2c73b46f7425a713-dde15.png?1688094250)
Si ![t=1 \longrightarrow 1=B \longrightarrow B=1 t=1 \longrightarrow 1=B \longrightarrow B=1](local/cache-vignettes/L237xH40/791656483db30e29c2ff063dd27fa5f9-f8ee7.png?1688094250)
Por tanto:
![\frac{1}{t(t-1)}=\frac{-1}{t}+\frac{1}{t-1} \frac{1}{t(t-1)}=\frac{-1}{t}+\frac{1}{t-1}](local/cache-vignettes/L193xH65/b128c6bc4bd6f2420b73bfa72f651404-98671.png?1688094250)
![\int \frac{dt}{t(t-1)}=\int \frac{-dt}{t}+\int \frac{dt}{t-1} = -ln|t|+ln|t-1|+C \int \frac{dt}{t(t-1)}=\int \frac{-dt}{t}+\int \frac{dt}{t-1} = -ln|t|+ln|t-1|+C](local/cache-vignettes/L477xH67/008b22a2bf9f3f802b73d26c85160aca-47443.png?1688094250)
Deshacemos el cambio de variable y tenemos que:
![\int \frac{dx}{1+e^x} = -ln|1+e^x|+ln|e^x|+C=x-ln|1+e^x|+C \int \frac{dx}{1+e^x} = -ln|1+e^x|+ln|e^x|+C=x-ln|1+e^x|+C](local/cache-vignettes/L495xH67/a4e605dfd68639315932acdf9aee3706-32066.png?1688094250)