Integración por Sustitución. Ejemplo 2

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En este ejemplo \int \frac{dx}{1+e^x} hacemos un cambio de variable y la transformamos en una integral racional.

Hacemos el cambio:

1+e^x = t

Derivamos (a la izquierda respecto de "x" y a la derecha respecto de "t")

e^x dx = dt

Con lo cual:

dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t-1}

Ahora sustituimos:
\int \frac{dx}{1+e^x} = \int \frac{\frac{dt}{t-1}}{t} = \int \frac{dt}{t(t-1)}

Es aconsejable repasar el método para integrales racionales con raíces reales simples.

\frac{1}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1} = \frac{A(t-1)+Bt}{t(t-1)}
En la expresión1 = A(t-1)+Bt sustituimos t por valores simples para calcular A y B
Si t=0 \longrightarrow 1=-A \longrightarrow A=-1
Si t=1 \longrightarrow 1=B \longrightarrow B=1
Por tanto:
\frac{1}{t(t-1)}=\frac{-1}{t}+\frac{1}{t-1}
\int \frac{dt}{t(t-1)}=\int \frac{-dt}{t}+\int \frac{dt}{t-1} = -ln|t|+ln|t-1|+C
Deshacemos el cambio de variable y tenemos que:
\int \frac{dx}{1+e^x} = -ln|1+e^x|+ln|e^x|+C=x-ln|1+e^x|+C