Intervalo de confianza para la proporción. Ejercicio 4524

, por dani

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Para estimar la proporción de jóvenes (mayores de 16 años) de la localidad de Pulpí que bebe alcohol los fines de semana, se pregunta a 80 jóvenes resultado que 32 de ellos afirman beber alcohol los fines de semana.

a) Determine un intervalo de confianza, al 99\% , para la proporción de jóvenes que bebe alcohol los fines de semana

b) Con la misma proporción y nivel de confianza del apartado anterior, encuentre el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción con un error inferior al 10\%

SOLUCIÓN:

a) Nos están pidiendo un intervalo de confianza para la proporción, por lo que debemos aplicar la siguiente fórmula para el intervalo:

I = \left( \overline{p}-Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}, \overline{p} +Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \right)

El tamaño de la muestra es n=80

La proporción de la muestra es \overline{p}=\frac{32}{80} = 0.4

Como la proporción de la población es desconocida, se toma la proporción de la muestra: p= 0.4

Cálculo del valor crítico z_c para una confianza del 99\%

P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.99}{2} = 0.995

Buscamos en el interior de la tabla el número más próximo a 0.995 y obtenemos un valor de z_c=2.575

Ya tenemos los datos para generar el intervalo

\left( \overline{p}-Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}, \overline{p} +Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \right)

\left( 0.4-2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{80}}, 0.4 +2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{80}} \right)

\left( 0.4 - 0.141, 0.4 +0.141 \right)

\left( 0.259, 0.541 \right)

b) La fórmula del error es:

E = z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}

E \leq 0.10 \longrightarrow z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \leq 0.1

2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}} \leq 0.1

\sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}} \leq \frac{0.1}{2.575}

\left( \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}}\right)^2 \leq \left(\frac{0.1}{2.575}\right)^2

\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n} \leq \frac{0.1^2}{2.575^2}

0.4 \cdot (1-0.4) \leq \frac{0.1^2}{2.575^2} \cdot n

\frac{2.575^2 \cdot 0.4 \cdot (1-0.4)}{0.1^2} \leq n

159.135 \leq n

Por tanto, para que el error sea inferior al 10\%, la muestra debe ser de al menos 160 \longrightarrow \fbox{n \geq 160}