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Intervalo de confianza para la proporción. Ejercicio 4524

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Para estimar la proporción de jóvenes (mayores de 16 años) de la localidad de Pulpí que bebe alcohol los fines de semana, se pregunta a 80 jóvenes resultado que 32 de ellos afirman beber alcohol los fines de semana.

a) Determine un intervalo de confianza, al $99\%$ , para la proporción de jóvenes que bebe alcohol los fines de semana

b) Con la misma proporción y nivel de confianza del apartado anterior, encuentre el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción con un error inferior al $10\%$

SOLUCIÓN

a) Nos están pidiendo un intervalo de confianza para la proporción, por lo que debemos aplicar la siguiente fórmula para el intervalo:

$I = \left( \overline{p}-Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}, \overline{p} +Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \right)$

El tamaño de la muestra es

La proporción de la muestra es $\overline{p}=\frac{32}{80} = 0.4$

Como la proporción de la población es desconocida, se toma la proporción de la muestra:

Cálculo del valor crítico para una confianza del $99\%$

$P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.99}{2} = 0.995$

Buscamos en el interior de la tabla el número más próximo a 0.995 y obtenemos un valor de

Ya tenemos los datos para generar el intervalo

$\left( \overline{p}-Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}, \overline{p} +Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \right)$

$\left( 0.4-2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{80}}, 0.4 +2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{80}} \right)$

$\left( 0.4 - 0.141, 0.4 +0.141 \right)$

$\left( 0.259, 0.541 \right)$

b) La fórmula del error es:

$E = z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}$

$E \leq 0.10 \longrightarrow z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \leq 0.1$

$2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}} \leq 0.1$

$\sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}} \leq \frac{0.1}{2.575}$

$\left( \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}}\right)^2 \leq \left(\frac{0.1}{2.575}\right)^2$

$\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n} \leq \frac{0.1^2}{2.575^2}$

$0.4 \cdot (1-0.4) \leq \frac{0.1^2}{2.575^2} \cdot n$

$\frac{2.575^2 \cdot 0.4 \cdot (1-0.4)}{0.1^2} \leq n$

$159.135 \leq n$

Por tanto, para que el error sea inferior al $10\%$ , la muestra debe ser de al menos 160 $\longrightarrow \fbox{n \geq 160}$

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