Problemas con matrices

Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación:

F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.

F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C.

F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.

Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.

Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres factorías.

SOLUCIÓN

Podemos expresar los datos en un tabla

A B C
F1 200 40 30
F2 20 100 200
F3 80 50 40

O en forma de matriz

\left(
\begin{array}{ccc}
     200 & 40 & 30
  \\ 20 & 100 & 200
  \\ 80 & 50 & 40
\end{array}
\right)

Los beneficios serían:

A 5
B 20
C 30

que podemos expresar en forma de matriz
\left(
\begin{array}{c}
     5
  \\ 20
  \\ 30
\end{array}
\right)

Para obtener el beneficio de cada factoría, basta con multiplicar las matrices
\left(
\begin{array}{ccc}
     200 & 40 & 30
  \\ 20 & 100 & 200
  \\ 80 & 50 & 40
\end{array}
\right) \cdot 
\left(
\begin{array}{c}
     5
  \\ 20
  \\ 30
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
     200 \cdot 5 + 40 \cdot 20 + 30 \cdot 30
  \\ 20 \cdot 5 + 100 \cdot 20 + 200 \cdot 30
  \\ 80 \cdot 5 + 50 \cdot 40 + 30 \cdot 30
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
     2700
  \\ 8100
  \\ 3300
\end{array}
\right)

- La primera fila (2700) es el beneficio de F1
- La segunda fila (8100) es el beneficio de F2
- La tercera fila (3300) es el beneficio de F3