Selectividad Andalucía 2012-2-B4

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Se cree que al menos el 25\% de los usuarios de teléfonos móviles son de
contrato. De una encuesta realizada a 950 personas, elegida al azar, 200 de ellas
manifestaron que tenían teléfono móvil de contrato. A la vista de estos resultados y con
un nivel de significación del 5\%, ¿puede admitirse que la proporción de personas con
contrato en su teléfono móvil ha disminuido? Utilice para la resolución del problema un
contraste de hipótesis con hipótesis nula “la proporción p es mayor o igual que 0.25”.

SOLUCIÓN

Se trata de un contraste de hipótesis para proporción de tipo unilateral (Ver Teoría)

Contraste

H_0: p \geq 0.25 (hipótesis nula)
H_1: p < 0.25 (hipótesis alternativa)

Región de aceptación (R)

R = \left( p_o-Z_\alpha \cdot \sqrt{\frac{p_o \cdot (1-p_o)}{n}}, +\infty \right)

– p_0 = 0.25
– n = 950 (tamaño de la muestra)
– \overline{p} = \frac{200}{950}=0.2105 (proporción de la muestra)
– z_{\alpha} al 95\%
P(Z \leq z_{\alpha}) = 0.95

Miramos la tabla de la N(0,1) y vemos que los mas próximo a 0.95 es 0.9495 (1.64) y 0.9505(1.65). Tanto si tomamos 1.64, como si tomamos 1.65 nos deberían dar el resultado por bueno, no obstante, como está a la misma distancia de ambos, voy a tomar 1.645 (la mitad entre 1.64 y 1.65).
Por tanto z_{\alpha}=1.645

La región de aceptación sería:

R = \left( 0.25-1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.25 \cdot 0.75}{950}}, +\infty \right)


R = \left( 0.2269, +\infty \right)

Como la proporción de la muestra está fuera de la región de aceptación \overline{p} = 0.2105 \notin (0.22269, +\infty) , rechazamos la hipótesis nula (p \geq 0.26) de que al menos el 25\% de los usuarios de teléfonos móviles son de
contrato y admitimos que la proporción de personas con contrato en su teléfono móvil ha disminuido