Selectividad Andalucía 2014-Sept-A4

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La concejalía de Educación de una determinada localidad afirma que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvenes de entre 15 y 20 años de edad es, a lo sumo, de 8 horas semanales. Para contrastar esta hipótesis, (H_0 : \mu \leq 8) se escoge al azar una muestra de 100 jóvenes, de entre 15 y 20 años, y se obtiene una media de 8.3 horas de dedicación a la lectura. Supuesto que el tiempo dedicado a la lectura sigue una ley Normal con desviación típica igual a 1 hora, ¿qué se puede decir, a un nivel de significación del 5%, sobre la afirmación de la concejalía?

SOLUCIÓN

Se trata de un contraste de hipótesis para le media (unilateral) (Ver Teoría)

H_o: \mu \leq 8 (hipótesis nula: la media es menor o igual a 8)
H_1: \mu > 8 (hipótesis alternativa: la media es mayor que 8)

Región de aceptación (R)

R = \left(-\infty, 8+Z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

– n=100: tamaño de la muestra
– \sigma=1: desviación típica
– \overline{x} = 8.3: media de la muestra
– z_{\alpha} al 95\%
P(Z \leq z_{\alpha}) = 0.95

Miramos la tabla de la N(0,1) y vemos que los mas próximo a 0.95 es 0.9495 (1.64) y 0.9505(1.65). Tanto si tomamos 1.64, como si tomamos 1.65 nos deberían dar el resultado por bueno, no obstante, como está a la misma distancia de ambos, voy a tomar 1.645 (la mitad entre 1.64 y 1.65).
Por tanto z_{\alpha}=1.645

La región de aceptación quedaría:

R = \left( -\infty, 8+1.645 \cdot \frac{1}{\sqrt{100}} \right) = (-\infty, 8.1645)

Toma de decisión

– Si \overline{x} \in R \Longrightarrow aceptamos H_o
– Si \overline{x} \notin R \Longrightarrow rechazamos H_o

Como \overline{x}=8.3 \notin (-\infty, 8.1645) \Longrightarrow rechazamos H_o (\mu \leq 8) y afirmamos (con una confianza del 95%) que el tiempo medio dedicado a la lectura por los jóvenes de entre 15 y 20 años de edad es mayor de 8 horas semanales.