Selectividad Andalucía 2015-2-B3

|

Sean dos sucesos A y B tales que P(A)=0.25 , \: P(B)=0.6 , \: P(A \cap B^c)=0.1.

– a) Calcule la probabilidad de que ocurra A y ocurra B.
– b) Calcule la probabilidad de que no ocurra A pero sí ocurra B.
– c) Calcule la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.
– d) ¿Son independientes A y B?

SOLUCIÓN

Debemos recordar que para los ejercicios de probabilidad debemos sabernos (o tener a mano) el Resumen de fórmulas de Probabilidad
Datos del enunciado:
P(A)=0.25
P(B)=0.6
P(A \cap B^c)=0.1

– a) P(A \cap B)
¿cómo se calcula la Probabilidad de la intersección de sucesos?
Probamos lo siguiente:
1) Si el enunciado dijese que son incompatibles, pues ya lo tendríamos P(A \cap B) = 0, pero no es el caso.
2) Si el enunciado dijese que son independientes, tendríamos P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B), y nos bastaría con los datos del enunciado, pero tampoco es el caso.
3) Debemos buscar una fórmula que relacione P(A \cap B) con alguno(s) de los datos del enunciado. Si miramos el Resumen de fórmulas de Probabilidad, vemos que la fórmula elegida es la siguiente:

P(A \cap B^c)=P(A)-P(A \cap B)
0.1=0.25 - P(A \cap B)
P(A \cap B) = 0.25 - 0.1 = \fbox{0.15}

– b) P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 06 - 0.15 = \fbox{0.45}

– c) Nos piden P(A "sabiendo que" B)
El "sabiendo que" o el "si" se interpretan como probabilidad condicionada, por tanto nos piden P(A / B)
Debemos usar la fórmula de la Probabilidad condicionada
P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}= \frac{0.15}{0.6}= \fbox{0.25}

– d) Para que los sucesos A y B sean independientes se debe cumplir la siguiente igualdad:
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Veamos si se cumple:

P(A \cap B) \stackrel{?}{=} P(A) \cdot P(B)
0.15 \stackrel{?}{=} 0.25 \cdot 0.6
0.15 \stackrel{?}{=} 0.15
Vemos que SI se cumple, por tanto SI son independientes.