Teorema del coseno

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El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras aplicable a triángulos no rectángulos.

Permite calcular cualquier lado de un rectángulo si se conocen los otros dos lados y el ángulo formado entre ellos

Teorema del coseno
Teorema del coseno para resolución de triángulos no rectángulos
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Otra de sus aplicaciones es cuando se conocen los 3 lados de un triángulo y no se conoce ningún ángulo.

Ejemplo resuelto

Calcula los ángulos de un triángulo de lados 3, 5 y 7

En primer lugar comprobamos que no es triángulo rectángulo
3^2 + 5^2 \neq 7^2

Hacemos un dibujo y aplicamos el teorema del coseno

a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot {cos \: \alpha}

5^2=3^2+7^2-2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot {cos \: \alpha}

25-9-49=-42 \cdot {cos \: \alpha}

\frac{-33}{-42} = {cos \: \alpha}

\alpha = arc \: cos \frac{33}{42} \longrightarrow \alpha = \fbox{38.2^\circ}

Volvemos a aplicar el teorema del coseno para calcular el segundo ángulo (aunque también se podría aplicar el teorema de los senos)

7^2=3^2+5^2-2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot {cos \: \beta}
49=9+25-30 {cos \: \beta}
-0.5= {cos \: \beta}
\beta = arc \: cos (-0.5) \longrightarrow \beta = \fbox{120^\circ}

Para el tercer ángulo, ya es más fácil

38.2^\circ + 120^\circ + \gamma = 180^\circ \longrightarrow = \gamma = \fbox{21.8^\circ}