Matemáticas IES - Matemáticas IES

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– Despeja la matriz $X$ en la ecuación $A \cdot X - X = B \cdot X + C$

– Halla la matriz $X$ sabiendo que
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$C = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 2 & 0\\ 2 & -4 & -3 \\ 1 & 2 & -3 \end{array} \right)$

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Sean las matrices

$A = \left( \begin{array}{cc} x & y \\ 0 & y \end{array} \right)$ ,
$B = \left( \begin{array}{c} a \\ 1 \end{array} \right)$ ,
$C = \left( \begin{array}{c} y \\ ay \end{array} \right)$ ,
$D = \left( \begin{array}{c} 6-ay \\ 1-a \end{array} \right)$

– a) Si $AB-C=D$ , plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por $x$ , $y$ ) en función de $a$
– b) ¿Para qué valores de $a$ el sistema tiene solución? ¿es siempre única? Encuentra una solución para $a=1$ con $y \neq 1$

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Resuelva la ecuación matricial $AX+B=A^2$ , siendo las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ ;
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right)$

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– Despeja la matriz $X$ en función de $A$ e $I_2$ en la ecuación $(X+A)^2 = X^2+XA+I_2$ , siendo $X$ y $A$ matrices cuadradas de orden dos, e $I_2$ la matriz identidad de orden 2.
– Resuelve la ecuación $BX + B^2 = I_2$ siendo
$B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right)$
e $I_2$ la matriz identidad de orden 2.

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– Despeja la matriz $X$ en la ecuación $A \cdot X - A = I - A \cdot X$

– Halla la matriz $X$ sabiendo que
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$
e
$I = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

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Hállense las matrices $A$ cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad:
$A \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \cdot A$

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Dadas las matrices

$P = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right)$
y
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$

hállese razonadamente la matriz $B$ sabiendo que $BP=A$

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Sean las matrices
$A =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$ ,
$B =\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)$ ,
$C =\left( \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$

Halla $X = A \cdot (B-C)$

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Sea la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} a^ 2 & ab & ab \\ ab & a^2 & b^2 \\ ab & b^2 & a^2 \end{array} \right)$

– a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz
– b) Estudiar el rango de A en caso de que $b=-a$

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Dada la matriz $A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ , encontrar todas las matrices
$P = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ tales que $AP = PA$

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Conjunto de exámenes de Selectividad de la asignatura:
Matemáticas II
en la comunidad de Andalucía.

Exámenes del año 2001

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Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola $y=x^2$ y la recta $y=1$ en dos regiones de igual área mediante la recta $y=a$ . Halla el valor de $a$

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Sea $f$ la función definida para $x \neq 1$ por $f(x) = \frac{2x^2}{x-1}$

– (a) Determina las asíntotas de la gráfica de $f$
– (b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de $f$
– (c) Esboza la gráfica de $f$

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De las matrices:

$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4\end{array} \right)$ ,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)$ ,
$C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 3 & 3\end{array} \right)$ y
$D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas.

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Sea la función $f: R \longrightarrow R$ definida por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 5x+10 & si & x \leq -1 \\ \\ x^2-2x+2 & si & x > -1 \end{array} \right.$

– (a) Esboza la gráfica de $f$
– (b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f$ , el eje de abcisas y la recta $x=3$

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Siendo $Ln(x)$ el logaritmo neperiano de $x$ , calcula:

$\lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{Ln(x)} \right)$

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Considera

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & -3\\ 0 & a & 2 \\ a & -1 & a-2 \end{array} \right)$ ,
$B = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ y
$X = \left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z \end{array} \right)$

– (a) Determina el rango de $A$ en función del parámetro $a$
– (b) Discute en función de $a$ en sistema, dado en forma matricial $AX=B$
– (c) Resuelve $AX=B$ en los casos en que sea compatible indeterminado.

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Considera los puntos:

$A(1,0,3)$ , $B(3,-1,0)$ , $C(0,-1,2)$ y $D(a,b,-1)$

Halla $a$ y $b$ sabiendo que la recta que pasa por $A$ y $B$ corta perpendicularmente a la recta que pasa por $C$ y $D$

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x) = |8 - x^2|$

– (a) Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de $f$ (dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores)
– (b) Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con la recta tangente a la misma en el punto de abcisa $x=-2$

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Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta 4 millones de pts y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación de uno del tipo B cuesta 1 millón de pts y puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje.

¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?.

📝 Ejercicios de selectividad