Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Resuelve los siguientes apartados:
– a) Calcular la ecuación del plano $\pi$ que pasa por $P(3,-1,-1)$ y es perpendicular a la recta
$r \equiv \left\{ x + y +z = 1 \atop 2x + y = 3 \right.$

– b) Corta el plano anterior con los tres ejes de coordenadas y obtendrás tres puntos A, B y C. Calcula el Volumen del tetraedro que determinan.

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Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x= 1 - \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 \end{array} \right.$

y es paralelo a la recta $s$ definida por
$\frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{2-z}{1}$

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Calcular la ecuación del plano que pasa por $P(0,1,5)$ y $Q=(3,4,3)$ y es paralelo a la recta $r \equiv \left\{ x - y + z = 0 \atop 2x + y = 3 \right.$

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Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los posibles valores del parámetro $a$ , siendo:
$\pi_1= 4x+2y+2z=2a$
$\pi_2= ax+y+z=1$
$\pi_3= 2x+y+az=1$

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Halla la posición relativa de las rectas:
$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z}{4}$

$s \equiv \left\{ \begin{array}{ll} 2x+y-z-1=0 \\2x+3y-2z-3=0 \end{array} \right.$

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A la empresa de obras públicas North SA se le ha encargado la construcción de una autovía que una dos importantes ciudades andaluzas. El recorrido de la misma pasa por una montaña y por razones económicas se ha decidido atravesarla construyendo un túnel. Tú puedes echar una mano a los ingenieros implicados en el proyecto a la hora de afrontar los cálculos matemáticos necesarios para realizar la obra.

Se pide:

1. El túnel sigue la trayectoria marcada por los puntos A(-1,1,1) y B(1,2,1). Halla la recta que pasa por estos, a la cual vamos a llamar r.

2. Las laderas de la montaña vienen dadas por lo planos cuyas ecuaciones son:
$\alpha \equiv -9x-y+6z=21$ y $\beta \equiv 9x-y+6z=21$
Halla los puntos de intersección de la recta r con los planos, vamos a nombrar a estos puntos como E(entrada) y S(salida).

3. Halla la longitud del túnel (distancia entre E y S).

4. En la cima de la montaña se va a trazar otra carretera cuya trayectoria viene determinada por la intersección de los planos $\alpha$ y $\beta$ . Halla la intersección de los mismos, a la cual vamos a llamar s.

5 Para la ventilación del túnel se va a crear un pozo de impulsión que conecta la cima de la montaña con el túnel y se quiere saber cuál es la longitud del mismo, el pozo sigue la perpendicular que une las rectas r y s. Halla la distancia entre ambas rectas.

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Dados los vectores $\vec{u}(2,-3,1)$ y $\vec{v}(-3,1,2)$ , calcula el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ y comprueba que $\vec{w} \perp \vec{u}$ y $\vec{w} \perp \vec{v}$

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Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto $(7,-2,9)$ y es perpendicular a cada una de las rectas $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3}$ y $x+4=\frac{y-2}{5}=\frac{z}{-2}$

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Dado el punto $P(1,-2,1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-4y+z=15$ y la recta $r \equiv \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1}$

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, es paralela a $\pi$ y corta a r

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Considera los puntos:

$A(1,0,3)$ , $B(3,-1,0)$ , $C(0,-1,2)$ y $D(a,b,-1)$

Halla $a$ y $b$ sabiendo que la recta que pasa por $A$ y $B$ corta perpendicularmente a la recta que pasa por $C$ y $D$

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Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A(1,0,-1)$ , es perpendicular al plano $x-y+2z+1=0$ y es paralelo a la recta
$\left\{ \begin{array}{rrr} x-2y & = & 0\\ z & = & 0 \end{array} \right.$

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Calcula $a$ sabiendo que los planos

$ax+y-7z=-5$ y $x+2y+a^2z=8$

se cortan en una recta que pasa por el punto $A(0,2,1)$ y no pasa por el punto $B(6,-3,2)$

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Considera los planos

$\pi_1 \equiv 2x+5=0$ y $\pi_2 \equiv 3x+3y-4=0$

– (a) ¿Qué ángulo determinan ambos planos?
– (b) Halla el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los dos planos dados

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Considera el sistema
$\left. \begin{array}{ccc} mx+y-z & = & 1 \\ x - my+ z & = & 4 \\ x + y+ mz & = & m \end{array} \right\}$

– (a) Discútelo según los valores de $m$
– (b) ¿Cuál es, según los valores de $m$ , la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?

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Sea $r$ la recta de ecuaciones
$r \equiv \left\{ \begin{array}{ccc} 3x + 2y & = & 0 \\ 3x + z & = & 0 \end{array} \right.$

– (a) Halla los puntos de $r$ cuya distancia al origen es de $7$ unidades
– (b) Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,2,-1)$

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Halla las coordenadas del punto simétrico de $A(0,-1,1)$ con respecto a la recta

$\frac{x-5}{2} = y = \frac{z-2}{3}$

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Halla el punto de la recta $x = \frac{y+2}{2} = \frac{z-3}{-1}$ que equidista del punto $A(1,2,1)$ y del origen de coordenadas

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Considera el plano $2x+y+2z-4=0$ .

– (a) Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes coordenados.
– (b) Calcula la distancia del origen al plano dado.

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Determina todos los puntos del plano $2x-y+2z-1=0$ que equidistan de los puntos $A(3,0,-2)$ y $B(1,2,0)$ . ¿Qué representan geométricamente?

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Considera los tres planos siguientes:

$\pi_1 \equiv x+y+z=1 \qquad , \qquad \pi_2 \equiv x-y+z=2 \qquad$ y
$\qquad \pi_3 \equiv 3x+y+3z=5$

¿Se cortan $\pi_1$ y $\pi_2$ ?. ¿Hay algún punto que pertenezca a los tres planos?

📝 Ejercicios de geometría3D