Definición de Derivada

Derivada de una función en un punto

Dada una funcion $f(x)$ , llamamos derivada de $f$ en el punto $a$ , y lo representamos por $f\textsc{\char13}(a)$ a a siguiente expresión:

$f\textsc{\char13}(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h}$

También se puede usar la siguiente expresión equivalente:

$f\textsc{\char13}(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) -f(a)}{x-a}$

Ejemplo: Calcula la derivada en el punto $x=2$ de la función $f(x)=x^2+3x-5$

$f\textsc{\char13}(2)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h) -f(2)}{h}$
$f(2+h)=(2+h)^2+3(2+h)-5 = h^2+7h+5$
$f(2) = 2^2+3 \cdot 2 - 5 = 5$

$f\textsc{\char13}(2)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(h^2+7h+5) -(5)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} (h+7) = 0+7 = \fbox{7}$

Afortunadamente no siempre tendremos que usar límites, pues en la mayoría de ocasiones calcularemos las derivadas usando las fórmulas

Derivadas laterales

La derivada, por definición es un límite, y al igual que existen límites laterales, también existen derivadas laterales:

– Derivada por la derecha: $f\textsc{\char13}(a^+) = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(a+h) -f(a)}{h}$
– Derivada por la izquierda: $f\textsc{\char13}(a^-) = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(a+h) -f(a)}{h}$

Tendremos que usar las derivadas laterales en las funciones a trozos.

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