Regla de l’Hôpital (I)

Regla de l’Hôpital para el cálculo de límites

Si las funciones f y g son derivables en un entorno del punto x=a y tales que f(a)=g(a)=0 , entonces si existe \lim_{x \rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} se cumple que

\textcolor{blue}{\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}}

La regla de l’Hôpital se puede aplicar para indeterminaciones del tipo

\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty}

Ejemplo

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{3x^2-2x} = \frac{e^0-1}{3 \cdot 0^2-2 \cdot 0} = \frac{0}{0}

Indeterminación. Aplicamos l’Hôpital

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{3x^2-2x} \stackrel{l \:^\prime H}{=} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x}{6x-2}=\frac{e^0}{6 \cdot 0-2}= -\frac{1}{2}

Observe que al aplicar l’Hôpital hemos derivado numerador y denominador

Ejemplo 2: aplicaciones sucesivas de l’Hôpital

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x \cdot sen(x)}{1 - cos(x)} = \frac{0 \cdot sen(0)}{1 - cos(0)}=\frac{0}{0}

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x \cdot sen(x)}{1 - cos(x)} \stackrel{l \:^\prime H}{=}\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)+ x \cdot cos(x)}{sen(x)}=\frac{sen(0)+ 0 \cdot cos(0)}{sen(0)}=\frac{0}{0}

Aplicamos l’Hôpital por segunda vez

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen(x)+ x \cdot cos(x)}{sen(x)}  \stackrel{l \:^\prime H}{=}\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot cos(x)-x \cdot sen(x)}{2+ cos(x)}= \frac{2 \cdot cos(0)-0 \cdot sen(0)}{2+ cos(0)}=\frac{2}{3}

Guillaume de l'Hôpital