Regla de l’Hôpital para el cálculo de límites
Si las funciones
y
son derivables en un entorno del punto
y tales que
, entonces si existe
se cumple que
La regla de l’Hôpital se puede aplicar para indeterminaciones del tipo
![\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty}](local/cache-vignettes/L72xH42/4b3ab80a9d1739a82d7241e3dffbb24b-8c05a.png?1688156712)
Ejemplo
![\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{3x^2-2x} = \frac{e^0-1}{3 \cdot 0^2-2 \cdot 0} = \frac{0}{0} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{3x^2-2x} = \frac{e^0-1}{3 \cdot 0^2-2 \cdot 0} = \frac{0}{0}](local/cache-vignettes/L233xH37/2670543bb27b610fcafdd92dbdd69b48-bfcd3.png?1688156712)
Indeterminación. Aplicamos l’Hôpital
![\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{3x^2-2x} \stackrel{l \:^\prime H}{=} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x}{6x-2}=\frac{e^0}{6 \cdot 0-2}= -\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{3x^2-2x} \stackrel{l \:^\prime H}{=} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x}{6x-2}=\frac{e^0}{6 \cdot 0-2}= -\frac{1}{2}](local/cache-vignettes/L325xH37/118682dc970ca31357cc981aadb1b4a1-4f9f0.png?1688156712)
Observe que al aplicar l’Hôpital hemos derivado numerador y denominador
Ejemplo 2: aplicaciones sucesivas de l’Hôpital
![\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x \cdot sen(x)}{1 - cos(x)} = \frac{0 \cdot sen(0)}{1 - cos(0)}=\frac{0}{0} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x \cdot sen(x)}{1 - cos(x)} = \frac{0 \cdot sen(0)}{1 - cos(0)}=\frac{0}{0}](local/cache-vignettes/L233xH41/f4027f418da2bc797ea7c441b7c68bd3-06854.png?1688156712)
![\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x \cdot sen(x)}{1 - cos(x)} \stackrel{l \:^\prime H}{=}\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)+ x \cdot cos(x)}{sen(x)}=\frac{sen(0)+ 0 \cdot cos(0)}{sen(0)}=\frac{0}{0} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x \cdot sen(x)}{1 - cos(x)} \stackrel{l \:^\prime H}{=}\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)+ x \cdot cos(x)}{sen(x)}=\frac{sen(0)+ 0 \cdot cos(0)}{sen(0)}=\frac{0}{0}](local/cache-vignettes/L482xH41/e29111083448c64aba8ed46ae0f6e06e-efdff.png?1688156712)
Aplicamos l’Hôpital por segunda vez
![\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen(x)+ x \cdot cos(x)}{sen(x)} \stackrel{l \:^\prime H}{=}\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot cos(x)-x \cdot sen(x)}{cos(x)}= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen(x)+ x \cdot cos(x)}{sen(x)} \stackrel{l \:^\prime H}{=}\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot cos(x)-x \cdot sen(x)}{cos(x)}=](local/cache-vignettes/L431xH44/ad14ca49e3f5ead299ca864c181ea505-99928.png?1688156712)
![\frac{2 \cdot cos(0)-0 \cdot sen(0)}{cos(0)}=\frac{2}{1}=2 \frac{2 \cdot cos(0)-0 \cdot sen(0)}{cos(0)}=\frac{2}{1}=2](local/cache-vignettes/L235xH44/9c31cbd28c4a6155c16ef1ee15130bad-768d2.png?1688156712)
Guillaume de l’Hôpital
Guillaume François Antoine, marqués de l’Hôpital (matemático francés)