L’Hôpital (III) : indeterminación infinito elevado a cero

Consideremos el siguiente límite

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \left( \frac{1}{x} \right)^{tg(x)} = (+\infty)^0$

**Función 1/x**

LA función 1/x tiendo a +infinito cuando x se acerca a 0 por la derecha

matematicasies.com

Llamamos "A" al límite y tomamos logaritmos

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \left( \frac{1}{x} \right)^{tg(x)} = A$

$ln \left[ \lim_{x \rightarrow 0^+} \left( \frac{1}{x} \right)^{tg(x)} \right] = ln(A)$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ ln \left( \frac{1}{x} \right)^{tg(x)} \right] = ln(A)$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ (tg(x)) \cdot ln \left( \frac{1}{x} \right)\right] = ln(A)$

Nos centramos en la expresión de la izquierda del signo igual

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ (tg(x)) \cdot ln \left( \frac{1}{x} \right)\right] = 0 \cdot (+\infty)$

**Función ln(1/x)**

función logaritmo neperiano de 1/x

matematicasies.com

Se ha transformado en una indeterminación del tipo $0 \cdot \infty$ que vimos cómo resolver en indeterminación 0 · infinito

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ (tg(x)) \cdot ln \left( \frac{1}{x} \right)\right] = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{ln \left( \frac{1}{x} \right)}{1/tg(x)} = \frac{+\infty}{+\infty}$

Ahora podemos aplicar L’Hôpital

$\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{ln \left( \frac{1}{x} \right)}{1/tg(x)} \stackrel{l \:^\prime H}{=} \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{-1/x^2}{-1/sen^2(x)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{sen^2(x)}{x} = \frac{0}{0}$