Formula fundamental de la trigonometría y fórmulas derivadas

Recordemos la fórmula fundamental de la trigonometría:

\fbox{sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha)=1}

Debemos saber antes de nada que sen^2(\alpha)=\left( sen(\alpha) \right)^2
Por convenio se usa la primera expresión.

¿De dónde sale la fórmula fundamental?


Recordamos como se definen las razones trigonométricas
sen (\alpha)=\frac{cateto \: opuesto}{hipotenusa}=\frac{c}{a}
cos (\alpha)=\frac{cateto \: contiguo}{hipotenusa}=\frac{b}{a}
tg (\alpha)=\frac{cateto \: opuesto}{cateto \: contiguo}=\frac{c}{b}

Si calculamos: sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha) tenemos
sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha)=\left( \frac{c}{a} \right)^2 +\left( \frac{b}{a} \right)^2=\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=

=\frac{c^2+b^2}{a^2} \stackrel{*}{=} \frac{a^2}{a^2}=1
(*) Por Pitágoras c^2+b^2=a^2

Fórmulas derivadas

Si en la fórmula fundamental dividimos todo por sen^2(\alpha)

\frac{sen^2(\alpha)}{sen^2(\alpha)} + \frac{cos^2(\alpha)}{sen^2(\alpha)} =\frac{1}{sen^2(\alpha)}
Obtenemos:

\fbox{1 + cotg^2(\alpha) =\frac{1}{sen^2(\alpha)}}

Iguamente, si dividimos por cos^2(\alpha)

\frac{sen^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} + \frac{cos^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} =\frac{1}{cos^2(\alpha)}

\fbox{tg^2(\alpha) + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}}

Estas fórmulas nos permiten, por ejemplo, obtener el coseno a partir de la tangente.
Se usan bastante en ejercicios del tipo "Dada una razón trigonométrica, calcula las demás razones"