Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Conjunto de exámenes de Selectividad de la asignatura:
Matemáticas II
en la comunidad de Andalucía.

Exámenes del año 2003

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$
y
$C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

– (a) ¿Para qué valores de $m$ tiene solución la ecuación matricial $A \cdot X + 2B = 3C$ ?
– (b) Resuelve la ecuación matricial dada para $m=1$

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Considera las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right)$
y
$X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$

– (a) Siendo $I$ la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A+\lambda I$ no tiene inversa.
– (b) Resuelve el sistema $A \cdot X = 3X$ e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones.

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Determina razonadamente los valores de $m$ para los que el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccc} 2x+y+ z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array} \right\}$

tiene más de una solución

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(a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 vale $-2$ ¿Cuánto vale el determinante de la matriz $4A$ ?

(b) Dada la matriz $B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)$
, ¿para qué valores de $\lambda$ la matriz $3B + B^2$ no tiene inversa?

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Dadas las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \end{array} \right)$
y
$B = \left( \begin{array}{ccc} -5 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -3 \end{array} \right)$

halla la matriz $X$ que cumple $A \cdot X = (B \cdot A^t)^t$

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Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ m^2 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{array} \right)$
, se pide:

– (a) Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.
– (b) Calcula, si es posible la matriz inversa de $A$ para $m=2$

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Sea $Ln \:(1 - x^2)$ el logaritmo neperiano de $1 - x^2$ y sea $f : (-1, 1) \longrightarrow R$ la
función definida por $f (x) = Ln\: (1 - x^2 )$ . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ .

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Se sabe que la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = x^3 + ax^2 + bx + c$
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 0$ y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = -1$ . Conociendo además que $\int_0^1 f(x) dx = 6$ , halla $a$ , $b$ y $c$ .

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Sabiendo que las rectas

$r \equiv x=y=x \qquad y \qquad s \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = - \mu \end{array} \right.$

se cruzan, halla los puntos $A$ y $B$ , de $r$ y $s$ respectivamente, que están a mínima distancia.

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Dadas la parábola de ecuación $y = 1 + x^2$ y la recta de ecuación $y = 1 + x$ , se pide:

– (a) Área de la región limitada por la recta y la parábola.
– (b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola.

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Considera la función $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = (x+3) \cdot e^{-x}$

– (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f
– (b) Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica
– (c) Esboza la gráfica de f

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Sean $C_1$ , $C_2$ y $C_3$ las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
– (a) El determinante de $A^3$ .
– (b) El determinante de $A^{-1}$ .
– (c) El determinante de $2A$ .
– (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, $3C_1 - C_3$ , $2C_3$ y $C_2$ .

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Sea la función $f: R \longrightarrow R$ definida por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2+3 & si & x \leq 1 \\ \\ 2-x^2 & si & x > 1 \end{array} \right.$

– (a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de $f$ en $x=1$
– (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$

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Sea la función $f: R \longrightarrow R$ definida por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2+3 & si & x \leq 1 \\ \\ 2-x^2 & si & x > 1 \end{array} \right.$

– (a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de $f$ en $x=1$
– (b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$

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Determina el valor positivo de $\lambda$ para el que el área del recinto limitado por la parábola $y=x^2$ y la recta $y = \lambda x$ es 1.

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Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccc} x + my -z & = & -2+2my \\ mx- y+4z & = & 5+2z \\ 6x-10y-z & = & -1 \end{array} \right\}$

– (a) Discute las soluciones del sistema según los valores de $m$
– (b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

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Sea $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = \sqrt[3]{x}$

– (a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa $x = 1$ .
– (b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida.
– (c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

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Sea $f : R\longrightarrow R$ definida por $f (x) = \sqrt[3]{x}$

– (a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa $x = 1$ .
– (b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida.
– (c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

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Considera la función $f$ definida para $x \neq 2$ por $f(x) = \frac{2x^2+2}{x+2}$

– (a) Halla las asíntotas de la gráfica de $f$
– (b) Estudia la posición relativa de la gráfica de $f$ respecto de sus asíntotas

📝 Ejercicios de selectividad