Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) $\left\{ \begin{array}{lll} x=1+\lambda \\ y=-2+2\lambda \\ z=\lambda \end{array} \right.$

b) $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}$

c) $\left\{ \begin{array}{ll} x+y+z=1 \\ x-y-z=-3 \end{array} \right.$

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Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

a) $\left\{ \begin{array}{lll} x=3+2\lambda \\ y=-2+\lambda \\ z=-1+\lambda \end{array} \right.$

b) $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}$

c) $\left\{ \begin{array}{ll} x+y-z=4 \\ x-y-2z=-5 \end{array} \right.$

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Resuelve los siguientes apartados:
– a) Calcular la ecuación del plano $\pi$ que pasa por $P(3,-1,-1)$ y es perpendicular a la recta
$r \equiv \left\{ x + y +z = 1 \atop 2x + y = 3 \right.$

– b) Corta el plano anterior con los tres ejes de coordenadas y obtendrás tres puntos A, B y C. Calcula el Volumen del tetraedro que determinan.

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Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x= 1 - \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 \end{array} \right.$

y es paralelo a la recta $s$ definida por
$\frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{2-z}{1}$

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Calcular la ecuación del plano que pasa por $P(0,1,5)$ y $Q=(3,4,3)$ y es paralelo a la recta $r \equiv \left\{ x - y + z = 0 \atop 2x + y = 3 \right.$

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Estudia la posición relativa de la recta r y el plano $\alpha$ en los siguientes casos:

a) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2 + 3 \lambda \\ y & = & 2 \lambda \\ z & = & -2 +4 \lambda \end{array} \right. \qquad \alpha : 3x-y+2z+1=0$

b) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2t + 3 \\ y & = & t-1\\ z & = & t+2 \end{array} \right. \qquad \alpha : x-3y+z-8=0$

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Halla la posición relativa de las rectas:
$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z}{4}$

$s \equiv \left\{ \begin{array}{ll} 2x+y-z-1=0 \\2x+3y-2z-3=0 \end{array} \right.$

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Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto $(7,-2,9)$ y es perpendicular a cada una de las rectas $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3}$ y $x+4=\frac{y-2}{5}=\frac{z}{-2}$

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Comprueba si las siguientes rectas son ortogonales
$L_1 \longrightarrow \frac{x+4}{8}=\frac{y-6}{-2}=\frac{z-10}{4}$
$L_2 \longrightarrow \frac{x-2}{-2}=\frac{y-8}{4}=\frac{z+8}{8}$

Obtenga su gráfica usando geogebra, octave u otro software

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Considera los puntos:

$A(1,0,3)$ , $B(3,-1,0)$ , $C(0,-1,2)$ y $D(a,b,-1)$

Halla $a$ y $b$ sabiendo que la recta que pasa por $A$ y $B$ corta perpendicularmente a la recta que pasa por $C$ y $D$

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Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A(1,0,-1)$ , es perpendicular al plano $x-y+2z+1=0$ y es paralelo a la recta
$\left\{ \begin{array}{rrr} x-2y & = & 0\\ z & = & 0 \end{array} \right.$

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Calcula $a$ sabiendo que los planos

$ax+y-7z=-5$ y $x+2y+a^2z=8$

se cortan en una recta que pasa por el punto $A(0,2,1)$ y no pasa por el punto $B(6,-3,2)$

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Sea $r$ la recta de ecuaciones
$r \equiv \left\{ \begin{array}{ccc} 3x + 2y & = & 0 \\ 3x + z & = & 0 \end{array} \right.$

– (a) Halla los puntos de $r$ cuya distancia al origen es de $7$ unidades
– (b) Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,2,-1)$

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Halla las coordenadas del punto simétrico de $A(0,-1,1)$ con respecto a la recta

$\frac{x-5}{2} = y = \frac{z-2}{3}$

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Sabiendo que las rectas

$r \equiv x=y=x \qquad y \qquad s \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = - \mu \end{array} \right.$

se cruzan, halla los puntos $A$ y $B$ , de $r$ y $s$ respectivamente, que están a mínima distancia.

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Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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Se considera la recta $r$ definida por $mx = y = z+2$ , $(m \neq 0)$ , y la recta $s$ definida por $\frac{x-4}{4} = y -1 = \frac{z}{2}$

– (a) Halla el valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son perpendiculares.
– (b) Deduce razonadamente si existe algún valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son paralelas.

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Considera el punto $A(1,-2,1)$ y la recta $r$ definida por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x+y &=&2 \\2x+y+z&=&7 \end{array} \right.$

– a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
– b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

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Considera el punto $P(1,0,0)$ , la recta $r$ definida por $x-3=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-2}$ y la recta $s$ definida por $(x,y,z) = (1,1,0) + \lambda (-1, 2, 0)$ .

– (a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$
– (b) Halla la ecuación del plano que pasando por $P$ es paralelo a $r$ y $s$ .

📝 Ejercicios de rectas en el espacio