Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sean las matrices
$A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad \quad B=\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos:

– a1) $A \cdot A^t$
– a2) $A^t \cdot A$
– a3) $A \cdot B$

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$

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Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{cc} \lambda +1 & 0 \\ 1 & -1 \end{array} \right)$

– a) Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A^2+3A$ no tiene inversa.
– b) Para $\lambda =0$ , halla la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 2.

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Considera las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \qquad C = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)$
Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $AXB = C^t$ , siendo $C^t$ la matriz traspuesta de $C$

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$ y
$B = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$

– (a) Halla, si es posible, $A^{-1}$ y $B^{-1}$
– (b) Halla el determinante de $A B^{2013} A^t$ siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$
– (c) Calcula la matriz $X$ que satisface $AX - B = AB$

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Sean las matrices
$A=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{5} & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5} \end{array} \right)$
,
$B=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -1 \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \end{array} \right)$
,
$C= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)$

– a) Resuelva la ecuación matricial $(2A+B) \cdot X = 3A - B$
– b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: $C \cdot D+A$ , $C^t \cdot D \cdot C$ , $D \cdot C^t$ , $C \cdot D \cdot C^t$

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– a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad

$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ -y \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ y & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right)$

– b) Resuelva la ecuación matricial

$X \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} \right) - 2 \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)$

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Calcula todas las matrices $X = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ tales que $a+d=1$ , tienen determinante 1 y cumplen $AX=XA$ , siendo $A = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$

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Se consideran las matrices
$A=\left( \begin{array}{ccc} a & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right)$ $\: \: , \: \:B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \: \quad$ y $\: C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la matriz $A$ no tenga inversa.
b) Para $a = 3$ , resuelva la ecuación matricial $X \cdot A - X \cdot B = C$ .
c) Para $a = 3$ , compruebe que $A^2 = 11 \cdot A$ y exprese $A^8$
en función de la matriz $A$ .

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Se considera la matriz $A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{array} \right)$

a) Determine para qué valores del parámetro $a$ , la matriz $A$ tiene inversa.
b) Para $a = 1$ , calcule la inversa de $A$ .
c) Para $a = 1$ , resuelva la ecuación matricial $A \cdot X = B^t$ , siendo $B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \end{array} \right)$

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Se consideran las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \lambda \\1 & -1 &-1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\\lambda & 0 \\0 & 2 \end{array} \right)$
donde $\lambda$ es un número real.

– a) Encontrar los valores de $\lambda$ para los que la matriz $AB$ tiene inversa
– b) Dados $a$ y $b$ números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema $A \left( \begin{array}{c} x \\y \\z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\b \end{array} \right)$ compatible determinado con $A$ la matriz del enunciado?.

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Dadas las matrices $A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array} \right)$ y
$B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{array} \right)$

– a) Calcule $A \cdot B$ y $B \cdot A$
– b) Compruebe que $(A+B)^2 = A^2 + B^2$

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Dadas las matrices $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$ y
$B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array} \right)$ , averigüe si existe una matric $C$ que verifique $B \cdot C = A$ , y en su caso, calcúlela.

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Se consideran las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\3 & -1 \end{array} \right)$
y
$B = \left( \begin{array}{cc} 4 & 20 \\16 & 5 \end{array} \right)$

– a) Calcule $A^2$ y $(A^ 2)^{-1}$
– b) Despeje $X$ de la ecuación matricial $A^2X = B$
– C) Calcule $X$

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Dadas las siguientes matrices:
$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad B= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & -2 \end{array} \right)$

a) Halla $A + B$
b) De las siguientes operaciones: $A \cdot B$ y $A \cdot B^t$ indica cual se puede realizar, justificando la respuesta. Halla aquella operación que pueda efectuarse.

📝 Ejercicios de matrices