Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sea la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} a^ 2 & ab & ab \\ ab & a^2 & b^2 \\ ab & b^2 & a^2 \end{array} \right)$

– a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz
– b) Estudiar el rango de A en caso de que $b=-a$

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Dadas las siguientes matrices
$A=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 6 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 6 & -3 & 0 \end{array} \right)$ y $B=\left( \begin{array}{ccc} -3 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{array} \right)$

– a) Calcula el rango de A. ¿Existe la inversa de A? ¿Por qué?
– b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz B.

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Dadas las matrices:

$A=\left( \begin{array}{ccc} 1&-2&3 \end{array}\right) \qquad B=\left( \begin{array}{c} 2\\-1\\1 \end{array}\right) \qquad C=\left( \begin{array}{ccc} 2&0&-1\\1&1&-1\\1&3&2 \end{array}\right)$

– a) Justifica si la matriz C tiene inversa
– b) Halla la inversa de C
– c) Resuelve la ecuación matricial $BA + 2X = C$

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Calcula las adjuntas de las siguientes matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 5 & -1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{array} \right)$

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Calcula, si existe, la inversa de las siguientes matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 5 & -1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right)$

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Indica para que valores de $a$ no existe inversa de la matriz siguiente

$A = \left( \begin{array}{ccc} a & -1 & 4 \\ 3 & a & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

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Dada la matriz $A$ , calcula el menor complementario $\alpha_{24}$

$A = \left( \begin{array}{cccc} 2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 1& 0 \\ 0 & 1 & 1& 4 \end{array} \right)$

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Dada la matriz $A$ , calcula los menores complementarios $\alpha_{23}$ y $\alpha_{31}$

$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right)$

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Dadas las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{array} \right)$
$\qquad$
$B = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 5 & -2 \\ -3 & -1 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \end{array} \right)$
Se pide:
– a) $3A - B$
– b) $-5B + A \cdot 2$

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Dadas las siguientes matrices
$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \end{array} \right) \qquad B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & -1 \\ -4 & 0 & 2 \end{array} \right) \qquad C=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & 0 \end{array} \right)$

Indica razonadamente cuáles de las siguientes operaciones se pueden hacer y cuáles no y realiza todas aquellas que sí se puedan:

– a) $A^t + B$
– b) $A \cdot C^t$
– c) $|A|$
– d) $|C|$
– e) $C - 2B$

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Dadas las siguientes matrices:

$A =\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3\\ 1 & 4 & -2 \\-1&0&2 \end{array} \right) \quad B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 0\\ 1 & 3 & 4 \end{array} \right) \quad C=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -3\\ 2 & 4 &0 \end{array} \right)$
Indica razonadamente cuáles de las siguientes operaciones se pueden hacer y cuáles no y realiza todas aquellas que sí se puedan:

– a) $A+B$
– b) $A \cdot C^t$
– c) $|A|$
– d) $A^{-1}$
– e) $|C|$
– f) $C-2B$

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Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación:

F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.

F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C.

F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.

Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.

Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres factorías.

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Demuestra que $A \cdot B \neq B \cdot A$ , siendo las matrices
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \end{array} \right)$

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Demuestra que $A \cdot B \neq B \cdot A$ , siendo las matrices
$A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right)$

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Calcula $a$ , $b$ y $c$ para que se cumpla que $A \cdot B = B \cdot A$

$A = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ $\qquad$
$B = \left( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ c & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

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Calcula el rango de la siguiente matriz en función de los valores del parámetro $m$

$A =\left( \begin{array}{ccc} m & -3 & 0\\ 0 & -1 & 1 \\2&-m&5 \end{array} \right)$

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Dada la matriz $A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ , encontrar todas las matrices
$P = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ tales que $AP = PA$

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De las matrices:

$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4\end{array} \right)$ ,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)$ ,
$C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 3 & 3\end{array} \right)$ y
$D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas.

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Considera

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & -3\\ 0 & a & 2 \\ a & -1 & a-2 \end{array} \right)$ ,
$B = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ y
$X = \left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z \end{array} \right)$

– (a) Determina el rango de $A$ en función del parámetro $a$
– (b) Discute en función de $a$ en sistema, dado en forma matricial $AX=B$
– (c) Resuelve $AX=B$ en los casos en que sea compatible indeterminado.

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Sea

$A = \left( \begin{array}{ccc} sen x & -cos x & 0\\ cosx & senx & 0 \\ senx + cosx & senx - cosx & 1 \end{array} \right)$

¿Para qué valores de $x$ existe la matriz inversa de $A$ ?. Calcula dicha matriz inversa.

📝 Ejercicios de matrices