Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Considera la matriz
$M(x) = \left( \begin{array}{ccc} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(a) ¿Para qué valores de $x$ existe $(M(x))^{-1}$ ?. Para los valores de $x$ obtenidos, calcula la matriz $(M(x))^{-1}$ .

(b) Resuelve, si es posible, la ecuación $M(3) \cdot M(x) = M(5)$ .

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & a-m \end{array} \right)$ ,
$B = \left( \begin{array}{c} 1\\ -1 \\ 3 \end{array} \right)$ y
$X = \left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z \end{array} \right)$

– (a) ¿Para qué valores de $m$ existe la matriz $A^{-1}$ ?
– (b) Siendo $m=2$ , calcula $A^{-1}$ y resuelve el sistema $A \cdot X = B$
– (c) Resuelve el sistema $A \cdot X = B$ para $m=1$

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Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubiesen asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas.

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Conjunto de exámenes de Selectividad de la asignatura:
Matemáticas II
en la comunidad de Andalucía.

Exámenes del año 2004

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– a) Halle la función derivada de la función $f(x)=L \frac{x}{x+1}$ y simplifique el resultado.
– b) Obtenga las asíntotas de la función $f(x)=\frac{2x+3}{3x-1}$
– c) Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$

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Se sabe que el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccc} x+ \alpha y & = & 1 \\ x + \alpha z & = & 1 \\ y+z & = & \alpha \end{array} \right\}$

tiene una única solución.

– (a) Prueba que $\alpha \neq 0$
– (b) Halla las soluciones del sistema

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Sea la función $f(x)=\frac{4x-1}{2x-2}$

– a) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y
represéntela gráficamente.
– b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ .

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Sabiendo que
$\left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ t & u & v \\ a & b & c \end{array} \right| = -6$ ,

calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

(a) $\left| \begin{array}{ccc} -3x & -y & -z \\ 3t & u & v \\ 3a & b & c \end{array} \right|$

(b) $\left| \begin{array}{ccc} -2y & x & z \\ -2u & t & v \\ -2b & a & c \end{array} \right|$

(c) $\left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ t & u & v \\ 2x-a & 2y-b & 2z-c \end{array} \right|$

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Determina $a$ y $b$ sabiendo que el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccc} x+3y+3z & = & 1 \\ -x +y+2z & = & -1 \\ ax+by+z & = & 4 \end{array} \right\}$

tiene al menos dos soluciones distintas.

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– (a)Sabiendo que la matriz
$A =\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & a-1 & a \end{array} \right)$
tiene rango 2, ¿cuál es el valor de $a$ ?

– (b) Resuelve el sistema de ecuaciones

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & -6 & -5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)$

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Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado):

– a) $f(x)=\frac{3x-1}{x} - (5x-x^2)^2$
– b) $g(x)=(x^2-1) L x$
– c) $h(x)=2^{5x}$
– d) $i(x)=(x^3-6x) (x^2+1)^3$

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– a) Calcule la ecuación de la recta tangente a $y=\frac{1}{x-1}$ en el punto de abcisa $x=2$
– b) ¿En qué punto de la gráfica de la función $f(x)=2x^2+3x+1$ , la recta tangente es paralela a $y=3x-5$ ?
– c) Sea $g(x)=2x^2-8x+a$ . Halle $a$ para que el valor mínimo de $g$ sea $3$

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– Estudie la continuidad y derivabilidad de la función:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcr} x^2-4x+7 & si & x \leq 3 \\ \\ \frac{4}{x-2} & si & x > 3 \\ \end{array} \right.$

– Calcule la derivada de $g(x)=(x+1) e^{2x+1}$

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Conjunto de exámenes de Selectividad de la asignatura:
Matemáticas II
en la comunidad de Andalucía.

Exámenes del año 2005

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Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.

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Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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Considera el punto $A(0, -3, 1)$ , el plano $\pi \equiv 2x-2y+3z=0$ y la recta $r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}$ .

– (a) Determina la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$ .
– (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por $A$ , es paralela a $\pi$ y corta a $r$ .

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Considera el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{lll} x + my + z = 0 \\ x + y + mz = 2 \\ mx + y + z = m \end{array} \right.$

– (a) ¿Para qué valor de $m$ el sistema tiene al menos dos soluciones?
– (b) ¿Para qué valores de $m$ el sistema admite solución en la que $x = 1$ ?

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Considera el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{lll} x + my + z = 0 \\ x + y + mz = 2 \\ mx + y + z = m \end{array} \right.$

– (a) ¿Para qué valor de $m$ el sistema tiene al menos dos soluciones?
– (b) ¿Para qué valores de $m$ el sistema admite solución en la que $x = 1$ ?

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Se sabe que las rectas:

$r \equiv \left. \begin{array}{lll} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = b + t \end{array} \right\}$
y
$s \equiv \left. \begin{array}{lll} x - y + z = 3 \\ 6x + 2z = 2 \end{array} \right\}$
están contenidas en un mismo plano

– (a) Calcula $b$
– (b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s$

📝 Ejercicios de selectividad