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📝 Ejercicios de selectividad

  • 👁 Ver Solución (#3267)

    – (a) Calcula el valor de m para el que la matriz
    A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & m\end{array} \right)
    verifica la relación 2A^2-A=I y determina A^{-1} para dicho valor de m

    – (b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M^2-M=I , determina la expresión de M^{-1} en función de M y de I.

  • 👁 Ver Solución (#3268)

    Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones para ls valores de m que lo hacen compatible:
    \left. \begin{array}{ccc} x+my & = & m \\ mx+ y & = & m \\ mx+my & = & 1 \end{array} \right\}

  • 👁 Ver Solución (#3377)

    El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función

    f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} -5x^2+40x-60 & si & 0 \leq x \leq 6 \\ \\ \frac{5x}{2}-15 & si & 6 < x \leq 10 \\ \end{array} \right.

    donde x representa el gasto en publicidad en miles de euros.

    – a) Represente la función f .
    – b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas.
    – c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?
    – d) Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál
    es ese beneficio máximo?

  • 👁 Ver Solución (#3022)

    Conjunto de exámenes de Selectividad de la asignatura:
    Matemáticas II
    en la comunidad de Andalucía.

    Exámenes del año 2008

  • 👁 Ver Solución (#3279)

    (a) Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones:
    2x+y \le 6 ; \quad 4x+y \le 10 ; \quad -x+y \le 3 ; \quad x \ge 0 ; \quad y \ge 0

    (b) Calcule el máximo de la función f(x,y) = 4x+2y-3 en el recinto anterior e indique dónde se alcanza.

  • 👁 Ver Solución (#2458)

    Considera la matriz
    \left( \begin{array}{ccc} 1 &1 &1 \\ m &m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{array} \right)

    – a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3
    – b) Estudia si el sistema
    A \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.

  • 👁 Ver Solución (#3067)

    Sea f: R \longrightarrow R la función definida por f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x

    – (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f
    – (b) Calcula los extremos relativos de f (abcisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

  • 👁 Ver Solución (#3282)

    Una empresa produce botellas de leche entera y de leche desnatada y tiene una capacidad de producción máxima de 6000 botellas al día. Las condiciones de la empresa obligan a que la producción de botellas de leche desnatada sea, al menos, la quinta parte de las de leche entera y, como máximo, el triple de la misma. El beneficio de la empresa por botella de leche entera es de 20 céntimos y por botella de leche desnatada es de 32 céntimos. Suponiendo que se vende toda la producción, determine la cantidad de botellas de cada tipo que proporciona un beneficio máximo y el importe de este beneficio.

  • 👁 Ver Solución (#3068)

    Considera las funciones f : \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \longrightarrow R y g : (0, +\infty) \longrightarrow R definidas por:

    f(x) = \frac{sen \: x}{cos^3 \: x} y g(x) = x^3 \cdot ln\:x (ln denota la función logaritmo neperiano)

    – (a) Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x = \frac{\pi}{3}
    (se puede hacer el cambio de variable t = cos \: x)
    – (b) Calcula \int g(x) dx

  • 👁 Ver Solución (#3069)

    – (a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

    \left. \begin{array}{ccc} 2x+y+z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array} \right\}

    – (b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.

  • 👁 Ver Solución (#3070)

    Se considera la recta r definida por mx = y = z+2 , (m \neq 0) , y la recta s definida por \frac{x-4}{4} = y -1 = \frac{z}{2}

    – (a) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.
    – (b) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son paralelas.

  • 👁 Ver Solución (#3071)

    Dada la función f definida, para x \neq 0 , por f(x) = \frac{e^x+1}{e^x-1} determina las asíntotas de su gráfica.

  • 👁 Ver Solución (#3072)

    Sea g : R \longrightarrow R la función definida por g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x.

    – (a) Esboza la gráfica de g
    – (b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x=2
    – (c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas.

  • 👁 Ver Solución (#3073)

    Dada la matriz
    A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & k\\ k & 1 & 3\\ 1 & 7 & k \end{array} \right)

    – (a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.
    – (b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A.

  • 👁 Ver Solución (#3074)

    Considera los puntos A(2, 0, 1) , B(-1, 1, 2) , C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0).

    – (a) Calcula la ecuación del plano \pi que contiene a los puntos B, C y D
    – (b) Halla el punto simétrico de A respecto del plano \pi.

  • 👁 Ver Solución (#3023)

    Conjunto de exámenes de Selectividad de la asignatura:
    Matemáticas II
    en la comunidad de Andalucía.

    Exámenes del año 2009

  • 👁 Ver Solución (#4028)

    Sea f : R \longrightarrow R la función definida por f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica:

    – El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f
    – f tiene un mínimo local en el punto de abcisa x=1
    – La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa x=2 tiene pendiente 1

  • 👁 Ver Solución (#4029)

    Se divide un segmento de longitud L=20 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble que la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima

  • 👁 Ver Solución (#4030)

    De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm^2, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud

  • 👁 Ver Solución (#4031)

    Sea f : R \longrightarrow R la función definida por

    f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{1}{x-1} & si & x < 0 \\ \\ x^2-3x-1 & si & x \geq 0 \end{array} \right.


    – a) Estudia la continuidad y dervabilidad
    – b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos
    – c) Esboza la gráfica de f