Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Conjunto de exámenes de Selectividad de la asignatura:
Matemáticas II
en la comunidad de Andalucía.

Exámenes del año 2002

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En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones:
– El precio de la empresa A es 0,6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C.
– El precio dado por B es la media de los precios de A y C.
– El precio de la empresa C es igual a 2 euros mas 2/5 del precio dado por A mas 1/3 del precio dado por B.

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ x & 1 & 0 \\ y & 0 & 0 \end{array} \right)$

– a) Calcula la matriz inversa de $A$
– b) Calcula $A^{127}$ y $A^{128}$
– c) Determina $x$ e $y$ tal que $AB = BA$

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & 1-\alpha & 3 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} \alpha-1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & -\alpha & 0 \end{array} \right)$
,
$b = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 3 \end{array} \right)$
,
$c = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right)$
,
$X = \left( \begin{array}{c} -x \\ y \\ z \end{array} \right)$

Determina $\alpha$ , si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial)

$AX=b \qquad ; \qquad BX=c$

tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos).

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Considera la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right)$

– a) Halla los valores de $\alpha$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.
– B) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz $A^2$ para $\alpha = 0$

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Considera la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & t & 0 \\ t & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Calcula los valores de $t$ para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

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Considera el siguiente sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccc} x+3y+z & = & 3 \\ 2x+my+z & = & m \\ 3x+5y+mz & = & 5 \end{array} \right\}$

– a) Determina, si es posible, un valor de $m$ para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.
– b) Determina, si es posible, un valor de $m$ para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.
– c) Determina, si es posible, un valor de $m$ para que el correspondiente sistema no tenga solución.

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Determina una matriz $A$ simétrica ( $A$ coincide con su traspuesta) sabiendo que

$det(A) = -7$ $\qquad$ y $\qquad$ $A \cdot \left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -1 & -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -4 & -12 \\ 1 & 3 \end{array} \right)$

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Determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX = X-B$ siendo

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)$ $\qquad$ y $\qquad$
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array} \right)$

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Considera

$A = \left( \begin{array}{ccc} m & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -m \\ 3 & 2 & -2 \end{array} \right)$ $\qquad$ , $\qquad$
$X= \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ $\qquad$ y $\qquad$
$C= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

– a) ¿Para qué valores de $m$ tiene inversa la matriz $A$ ?
– b) Resuelve, para $m=2$ , el sistema de ecuaciones $AX = C$

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Denotamos por $M^t$ a la matriz traspuesta de una matriz $M$ . Considera

$A = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right)$ $\qquad$ , $\qquad$
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 3 \end{array} \right)$ $\qquad$ y $\qquad$
$C = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & -3 \\ -2 & 9 & -6 \\ 1 & -4 & 4 \end{array} \right)$

– a) Calcula $(AB)^t$ y $(BA)^t$
– b) Determina una matriz $X$ que verifique la relación $\frac{1}{2}X + (AB)^t = C$

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Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{lcl} x-my+z & = & 1 \\ x+y+z & = & m+2 \\ x+y+mz & = &4 \end{array} \right\}$

– a) Clasifícalo según los valores del parámetro $m$
– b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado

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Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & k\\ k & 1 & 3\\ 1 & 7 & k \end{array} \right)$

y enuncia las propiedades que hayas usado

📝 Ejercicios de MatemáticasII_Andalucía_2002