Ángulo de dos vectores en el espacio
La fórmula del producto escalar
![\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})](local/cache-vignettes/L210xH52/0a51ac22c886f3da9710b393b8f22b64-bac2c.png?1688042692)
nos permite averiguar el ángulo que forman dos vectores, despejando el coseno:
![cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}](local/cache-vignettes/L165xH68/98424285af8ad1dd6f3ca3259a92873a-1828c.png?1688042692)
– Ejemplo: Halla el ángulo que forman los vectores
y ![\vec{v}=(2,-2,1) \vec{v}=(2,-2,1)](local/cache-vignettes/L117xH42/3e28a98e1c3523e389f73e569caedd9f-40844.png?1688110027)
Si llamamos
al ángulo que forman ambos vectores, tendremos:
![cos(\alpha)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} cos(\alpha)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}](local/cache-vignettes/L148xH68/9e1142a2953be52098c75b97355b2ad5-51702.png?1688042692)
![cos(\alpha)=\frac{2 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1}{\sqrt{2^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}} cos(\alpha)=\frac{2 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1}{\sqrt{2^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}](local/cache-vignettes/L367xH70/afc0d10e28a3be9ab2fd125df02791c5-70db2.png?1688110027)
![cos(\alpha)=\frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{9}} = \frac{5}{3 \sqrt{5}} cos(\alpha)=\frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{9}} = \frac{5}{3 \sqrt{5}}](local/cache-vignettes/L220xH65/cd1ba2db506ff6b206011d8a33777686-be8b7.png?1688110027)
Usamos la calculadora y vemos que ![\alpha = 41^\circ 48\textsc{\char13} 47\textsc{\char13}\textsc{\char13} \alpha = 41^\circ 48\textsc{\char13} 47\textsc{\char13}\textsc{\char13}](local/cache-vignettes/L128xH42/16b34ef276b6d7734a4a1ab3bf45bd5f-66779.png?1688110027)