Expresión matricial de un sistema lineal

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Dado un sistema de ecuaciones
\left\{ \begin{array}{lll} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{array} \right.

Se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera:

\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )

La expresión anterior, de forma abreviada A \cdot X = B, se llama expresión matricial del sistema. Las matrices se conocen como:
– A matriz de los coeficientes
– X matriz de las incógnitas
– B matriz de los términos independientes

Matriz ampliada

Se llama matriz ampliada (se representa por A^*) a la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes.

A^* = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right )

Es frecuente expresar la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A^*) en una única expresión:

A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right )