Matemáticas IES - Matemáticas IES

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– a) Calcule la ecuación de la recta tangente a $y=\frac{1}{x-1}$ en el punto de abcisa $x=2$
– b) ¿En qué punto de la gráfica de la función $f(x)=2x^2+3x+1$ , la recta tangente es paralela a $y=3x-5$ ?
– c) Sea $g(x)=2x^2-8x+a$ . Halle $a$ para que el valor mínimo de $g$ sea $3$

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– Estudie la continuidad y derivabilidad de la función:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcr} x^2-4x+7 & si & x \leq 3 \\ \\ \frac{4}{x-2} & si & x > 3 \\ \end{array} \right.$

– Calcule la derivada de $g(x)=(x+1) e^{2x+1}$

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Sean las funciones $f(x)=x^2-4x+6$ y $g(x)=2x-x^2$

– (a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente
– (b) Determine el valor de $x$ para el que se hace mínima la función $h(x) = f(x) - g(x)$ .

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Calcula las siguientes derivadas:

– (a) $f(x)=\frac{1-3x}{x} + (5x-2)^3$
– (b) $g(x)=(x^2+2) \cdot Ln(x^2+2)$
– (c) $h(x)=3^{5x}+e^x$

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Determina un punto de la curva de ecuación $y = x e^{-x^2}$ en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.

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Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}$ , para $x \neq 0$ .

– (a) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de $f$ .
– (b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de $f$ .
– (c) Esboza la gráfica de $f$ .

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El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función

$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} -5x^2+40x-60 & si & 0 \leq x \leq 6 \\ \\ \frac{5x}{2}-15 & si & 6 < x \leq 10 \\ \end{array} \right.$

donde x representa el gasto en publicidad en miles de euros.

– a) Represente la función f .
– b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas.
– c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?
– d) Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál
es ese beneficio máximo?

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Sea $f: R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x$

– (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$
– (b) Calcula los extremos relativos de $f$ (abcisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

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Considera las funciones $f : \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \longrightarrow R$ y $g : (0, +\infty) \longrightarrow R$ definidas por:

$f(x) = \frac{sen \: x}{cos^3 \: x}$ y $g(x) = x^3 \cdot ln\:x$ (ln denota la función logaritmo neperiano)

– (a) Halla la primitiva de $f$ que toma el valor $1$ cuando $x = \frac{\pi}{3}$
(se puede hacer el cambio de variable $t = cos \: x$ )
– (b) Calcula $\int g(x) dx$

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Dada la función $f$ definida, para $x \neq 0$ , por $f(x) = \frac{e^x+1}{e^x-1}$ determina las asíntotas de su gráfica.

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Sea $g : R \longrightarrow R$ la función definida por $g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x$ .

– (a) Esboza la gráfica de $g$
– (b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto de abscisa $x=2$
– (c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $g$ y el eje de abscisas.

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica:

– El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f
– f tiene un mínimo local en el punto de abcisa x=1
– La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa x=2 tiene pendiente 1

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Se divide un segmento de longitud L=20 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble que la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima

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De entre todos los rectángulos cuya área mide $16 cm^2$ , determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{1}{x-1} & si & x < 0 \\ \\ x^2-3x-1 & si & x \geq 0 \end{array} \right.$

– a) Estudia la continuidad y dervabilidad
– b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos
– c) Esboza la gráfica de f

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Se sabe que la función $f: R \longrightarrow R$ definida por

$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$

tiene extremos relativos en (0,0) y en (2,2). Calcula a,b,c,d

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En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión $B(x) = 0.5x^2-4x+6$ , siendo x la inversión en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo $[0,10]$ .

– a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?
– b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?
– c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?

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El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, $f(x)$ , dependen de la inversión, $x$ , según la función $f(x)=-x^2+11x-10$ . (x es la cantidad invertida en millones de euros).

– a) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa.
– b) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste?
– c) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo?

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Sea la función $f(x)=2x^2+ax+b$

– a) Determine los valores de $a$ y $b$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, 3)$ y alcanza un extremo local en el punto de abscisa $x=-2$ .
– b) Tomando $a = 8$ y $b = -10$ deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula.

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Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, $c(x)$ , expresado en litros, viene dado por la función

$c(x)=7.5-0.05x+0.00025x^2$

siendo $x$ , la velocidad en $km/h$

– a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.
– b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x) .
– c) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?

📝 Ejercicios de funciones