Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Demuestra que las siguientes rectas son ortogonales:
$r \equiv \frac{x-1}{2}=y+3 = z-1$
$s \equiv x-2=\frac{y-1}{-3} = z-1$

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Los puntos $A(3,0,0)$ , $B(0,3,0)$ y $C(0,0,3)$ son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a los puntos A, B y C.

– a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
– b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto $P(1,1,1)$ y es perpendicular al plano $\pi$
– c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.

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Halla la distancia entre las rectas paralelas:
$r \equiv \frac{x}{1}=\frac{y+3}{2} = \frac{z}{4}$
$s \equiv x=\frac{y-1}{2} = \frac{z}{4}$

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Halla la distancia entre las rectas:
$r \equiv \frac{x+3}{3}=\frac{y-9}{-2} = \frac{z-8}{-2}$
$s \equiv \frac{x-3}{-2}=\frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$

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Escriba las ecuaciones paramétricas, continua e implícita de la recta que pasa por los puntos $A(1,2,4)$ y $B(0,-2, -5)$

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Dados los puntos $A(3, -1, 0)$ y $B(1, -5, 3)$ se considera la recta $r$ que pasa por ambos. Se pide:

a) Halla un vector director de $r$ .

b) Obtén la ecuación vectorial, paramétrica, continua e implícita (o general) de $r$ .

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Considera la recta r que pasa por el punto $A(1,-2,5)$ y lleva la dirección del vector $\vec{v}=(-2,-2,0)$
Se pide:

a) Halla su ecuación paramétrica.

b) Halla su ecuación continua.

c) Halla su ecuación implícita.

d) Estudia la posición relativa de la recta r respecto a la s:
$\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{2}=z-1$

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Estudia la posición relativa de las rectas:
$r: \: \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}$ y
$s: \: \frac{x-4}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2}$

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Estudia la posición relativa (y punto de corte en caso de ser secantes) de las rectas:
$r: \: \frac{x}{2}=y-1=\frac{z+1}{3} \: ; \quad s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x-2y-1=0 \\ 3y-z+1=0 \\ \end{array} \right.$

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Halla la posición relativa (y punto de corte si existe) de las rectas:
$r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=1-5 \lambda \\ y=2+3 \lambda \\ z=-5+ \lambda \\ \end{array} \right. \quad s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=1 \\ z= \lambda \\ \end{array} \right.$

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Comprueba mediante más de un método si los siguientes puntos están alineados:
$A(1,-2,1) \: ; \:B(2,3,0) \: ; \:C(,1,0,-4) \:$

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Dadas las rectas
$R_1 \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x+y-2z=0 \\2x-3y+z-1=0 \end{array} \right.$ y $R_2 \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 3 \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 2 +\lambda \end{array} \right.$
– a) Halla los puntos de corte entre $R_2$ y el plano $\pi : x-3y-2z=2$
– b) Halla la ecuación de un plano que sea perpendicular a $R_1$ y que pase por el punto de corte hallado en el apartado a)

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Dados los puntos $A(1,2,3)$ , $B(1,0,0)$ y $C(0,1,1)$ , se pide:

– a) Ecuación del plano $\pi$ que pasa por $A$ , $B$ y $C$
– b) Vector normal al plano $\pi$
– c) Ecuación de una recta perpendicular al plano $\pi$ y que pase por el punto $(0,0,1)$

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Dados los puntos $A(1,1,0)$ y $B(0,2,-1)$ , escriba las ecuaciones paramétricas, continua e implícitas de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$

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Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
$(x, y, z) = (3, -1, 2) + t (-2, 3, 2)$

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Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
$r \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x=3-2t \\y = -1+3t \\z = 2+2t \end{array} \right.$

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Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
$\frac{x-3}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{2}$

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Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
$r \equiv \left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y-7=0 \\2x+2z-10=0 \end{array} \right.$

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Dados los puntos $A(1,-2,5)$ , $B(1,0,1)$ y $C(0,-1,1)$ , se pide:

– a) Ecuación del plano $\pi$ que pasa por $A$ , $B$ y $C$
– b) Vector normal al plano $\pi$
– c) Ecuación de una recta perpendicular al plano $\pi$ y que pase por el punto $(0,0,1)$

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La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:

1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son $A=(-5,-5,0)$ , $B=(-5,5,0)$ y $C=(5,-5,0)$ . Forma los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ , comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es $1=23 \: m$ y por tanto la superficie es $1=529 \: m^2$ ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?

2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
$r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.$
Y el lado de la puerta (donde está el $\vec{AC}$ ) es la recta de ecuación:
$s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.$

¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)

3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el $(0,0,6)$ calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas $u$ y $v$ que forma los lados ( $\vec{AD}$ y $\vec{CD}$ )

4) Halla el plano que contiene a la puerta $(0,-5,0)$ y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta $h$ . Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.

📝 Ejercicios de rectas en el espacio