Selectividad PAU Andalucía — Matemáticas

Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir de tablero DM se consumen de madera triturada y se obtiene un beneficio de . Para producir de tablero aglomerado se consumen de madera triturada y se obtiene un beneficio de . La empresa puede fabricar diariamente como máximo de tableros DM y de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a diarios y dispone de de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.

Una empresa fabrica dos productos, y , a partir de tres recursos productivos: mano de obra, energía y capital. La disponibilidad anual de energía y de capital son 3500 unidades y 1300 unidades respectivamente. Para poder optar a una ayuda del gobierno para el fomento del empleo, la empresa va a contratar, al menos, 4200 horas anuales. Cada unidad de necesita para su fabricación 10 horas de mano de obra, 10 unidades de energía y 5 unidades de capital; siendo el precio de cada unidad de 800 euros. Cada unidad de necesita para su fabricación 20 horas de mano de obra y 5 unidades de energía; vendiéndose a 400 euros la unidad de . La empresa vende todo lo que produce y quiere maximizar sus ingresos anuales por la venta de los dos productos.

a) ¿Cuántas unidades de cada producto han de fabricarse anualmente para maximizar los ingresos? ¿Cuál es dicho ingreso óptimo?

b) ¿Es posible alcanzar el máximo elaborando un único producto?

Sean y dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que:

a) ¿Son y independientes? ¿Son incompatibles?

b) Calcule la probabilidad de que:

i) Ocurra alguno de los sucesos contrarios.

ii) Ocurra sabiendo que no ha ocurrido .

iii) Ocurra uno y solo uno de los dos sucesos.

Una empresa de transporte contrata una consultora para optimizar sus recursos. La consultora estudia la distancia en kilómetros que recorren en cada viaje los camiones de la empresa, sabiendo que la variable que mide dicha distancia se distribuye según una Normal de varianza y media desconocida. Para ello, toma aleatoriamente una muestra de viajes y obtiene una media de recorridos por viaje.

a) Calcule un intervalo de confianza al para que la consultora pueda estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa.

b) A la vista del intervalo obtenido, razone si la consultora puede considerar que los camiones de la empresa recorren por término medio por viaje que realizan.

c) ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendría que seleccionar aleatoriamente la consultora para estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa mediante un intervalo de confianza del que tuviera una amplitud inferior a ?

Sea una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 2.

a) Se selecciona una muestra de tamaño 81 resultando una media de 20. Calcule un intervalo de confianza al 98.5\% para estimar la media poblacional. ¿Qué error máximo se comete en la estimación?

b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debería tener una nueva muestra para que la amplitud del intervalo para la media fuese inferior a 2.16?

c) Razone qué efecto produciría sobre la amplitud del intervalo una disminución del nivel de confianza.

Se considera la función .

a) Halle su dominio y determine sus asintotas.

b) Estudie la monotonía y la curvatura, calculando los extremos relativos y los puntos de inflexión.

c) Represente gráficamente .

d) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en todos aquellos puntos donde la pendiente de dicha recta vale .

Se considera la función

siendo y números reales.

a) Determine los valores de y para que la función sea continua en todo su dominio.

b) Para y :

i) Calcule los extremos relativos de .

ii) Represente gráficamente .

iii) Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje y la gráfica de la función .

En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 5 entradas Premium, 20 Estándar y 20 VIP, obteniéndose una recaudación de . En la sesión nocturna se vendieron 10 VIP, 10 Estándar y 5 Premium, recaudándose . El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 4 al resto de entradas, que fueron 12 VIP y 4 Estándar, arrojando una recaudación de .

a) Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida.

b) Determine el tipo de entrada con la que se obtuvo una mayor recaudación y el valor de dicha recaudación.

Considera el sistema

a) Discútelo según los valores de .

b) Para resuelve el sistema, si es posible.

Dadas las matrices , y , calcula la matriz que satisface