Recordemos que funciones irracionales son aquellas funciones en las que aparece la «x» dentro de un signo radical.
Ejemplos de funciones irracionales:
– ![f(x) = \sqrt{3x+4} f(x) = \sqrt{3x+4}](local/cache-vignettes/L135xH22/fc88a93796bd40eb474617e4829864c3-e74cf.png?1688041024)
– ![f(x) = 5x + \sqrt[3]{2x-7} f(x) = 5x + \sqrt[3]{2x-7}](local/cache-vignettes/L181xH22/d537fd88b60be72ac4082a1ef6b1a62b-d56a3.png?1688063813)
– ![f(x) = \frac{\sqrt{3x+4} + 2x}{x^2-5x+3} f(x) = \frac{\sqrt{3x+4} + 2x}{x^2-5x+3}](local/cache-vignettes/L182xH45/8d508d03197063002dc5e6fa9e7356ca-d89f1.png?1688041024)
Cálculo de límites de funciones irracionales cuando x tiende a un número
Veamos varios ejemplos:
– ![\lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{x+3} = \sqrt{2+3} = \sqrt{5} \lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{x+3} = \sqrt{2+3} = \sqrt{5}](local/cache-vignettes/L233xH30/cc2c99b33ed20dffa176815928252c1c-14368.png?1688042513)
– ![\lim_{x \rightarrow 3} \frac{ \sqrt{x+1}}{x+3}=\frac{\sqrt{3+1}}{3+3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \lim_{x \rightarrow 3} \frac{ \sqrt{x+1}}{x+3}=\frac{\sqrt{3+1}}{3+3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}](local/cache-vignettes/L266xH45/5ae8b06d2037ae2e7959c2bc5fb5d001-7a7d1.png?1688041024)
Los problemas vienen cuando se dan situaciones como el siguiente ejemplo:
– ![\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{2x-2} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 - \sqrt{3 \cdot 1-2}}{2 \cdot 1-2} = \frac{0}{0} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{2x-2} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 - \sqrt{3 \cdot 1-2}}{2 \cdot 1-2} = \frac{0}{0}](local/cache-vignettes/L363xH44/70b581ef8700d8d0526c2707acdb6cf0-79e6e.png?1688042513)
Obtenemos una indeterminación, que en estos casos (cuando hay radicales) se suelen resolver multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada (y operando y simplificando después).
El conjugado de
es ![a-b a-b](local/cache-vignettes/L42xH15/8ca2ed590cf2ea2404f2e67641bcdf50-bb868.png?1688063813)
El conjugado de
es ![x + \sqrt{3x-2} x + \sqrt{3x-2}](local/cache-vignettes/L106xH20/c4fe1d059f043951684a4dccfcea9711-a0d55.png?1688063813)
Para obtener el conjugado basta con cambiar el signo al segundo término.
Vamos a probarlo:
![\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{2x-2}=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( x - \sqrt{3x-2} \right) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{2x-2}=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( x - \sqrt{3x-2} \right) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}=](local/cache-vignettes/L493xH64/d497c00aa763e89dd28987dcdd8a34b9-55812.png?1688041024)
Ya hemos multiplicado y dividido por el conjugado.
Ahora nos toca operar (recordando los productos notables)
![=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-\left( \cancel{\sqrt}{\overline{3x-2}} \right)^\cancel{2}}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-3x+2}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)} =\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-\left( \cancel{\sqrt}{\overline{3x-2}} \right)^\cancel{2}}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-3x+2}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}](local/cache-vignettes/L540xH71/47794654df1c86a70b412f6cfaa8d340-008f6.png?1688041024)
![= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1^2-3 \cdot 1+2}{(2 \cdot 1-2) \cdot \left( 1 + \sqrt{3 \cdot 1-2} \right)} = \frac{0}{0} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1^2-3 \cdot 1+2}{(2 \cdot 1-2) \cdot \left( 1 + \sqrt{3 \cdot 1-2} \right)} = \frac{0}{0}](local/cache-vignettes/L330xH57/80962163a486fd2ff4d1348dc239960a-ef247.png?1688063813)
Anda! Pues no hemos conseguido eliminar la Indeterminación. ¿Por qué?
El problema es que hemos olvidado un paso:
– multiplicar y dividir por el conjugado (HECHO)
– operar (HECHO)
– simplificar (OLVIDADO)
Debemos intentar simplificar la expresión. Debe aparecer el factor (x-1)
![\frac{x^2-3x+2}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}=\frac{\cancel{(x-1)}(x-2)}{2\cancel{(x-1)} \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)} \frac{x^2-3x+2}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}=\frac{\cancel{(x-1)}(x-2)}{2\cancel{(x-1)} \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}](local/cache-vignettes/L453xH57/4db245206cdbfdbe09f02a505922834d-34f09.png?1688041024)
Por tanto, nos quedaría
![= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\cancel{(x-1)}(x-2)}{2\cancel{(x-1)} \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)} = \frac{(1-2)}{2(1+\sqrt{3 \cdot 1 -2})}=\frac{-1}{4} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\cancel{(x-1)}(x-2)}{2\cancel{(x-1)} \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)} = \frac{(1-2)}{2(1+\sqrt{3 \cdot 1 -2})}=\frac{-1}{4}](local/cache-vignettes/L495xH55/79de5d996765a2d32f3ae8491db35ddf-d0e31.png?1688041024)