Cálculo de límites de funciones irracionales (I)

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Recordemos que funciones irracionales son aquellas funciones en las que aparece la «x» dentro de un signo radical.
Ejemplos de funciones irracionales:

– f(x) = \sqrt{3x+4}

– f(x) = 5x + \sqrt[3]{2x-7}

– f(x) = \frac{\sqrt{3x+4} + 2x}{x^2-5x+3}

Cálculo de límites de funciones irracionales cuando x tiende a un número

Veamos varios ejemplos:

– \lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{x+3} = \sqrt{2+3} = \sqrt{5}

– \lim_{x \rightarrow 3} \frac{ \sqrt{x+1}}{x+3}=\frac{\sqrt{3+1}}{3+3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

Los problemas vienen cuando se dan situaciones como el siguiente ejemplo:

– \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{2x-2} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 - \sqrt{3 \cdot 1-2}}{2 \cdot 1-2} = \frac{0}{0}
Obtenemos una indeterminación, que en estos casos (cuando hay radicales) se suelen resolver multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada (y operando y simplificando después).

El conjugado de a+b es a-b
El conjugado de x - \sqrt{3x-2} es x + \sqrt{3x-2}
Para obtener el conjugado basta con cambiar el signo al segundo término.

Vamos a probarlo:

\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{2x-2}=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( x - \sqrt{3x-2} \right) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}=

Ya hemos multiplicado y dividido por el conjugado.
Ahora nos toca operar (recordando los productos notables)

=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-\left( \cancel{\sqrt}{\overline{3x-2}} \right)^\cancel{2}}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-3x+2}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}

= \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1^2-3 \cdot 1+2}{(2 \cdot 1-2) \cdot \left( 1 + \sqrt{3 \cdot 1-2} \right)} = \frac{0}{0}

Anda! Pues no hemos conseguido eliminar la Indeterminación. ¿Por qué?
El problema es que hemos olvidado un paso:
– multiplicar y dividir por el conjugado (HECHO)
– operar (HECHO)
– simplificar (OLVIDADO)

Debemos intentar simplificar la expresión. Debe aparecer el factor (x-1)

\frac{x^2-3x+2}{(2x-2) \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}=\frac{\cancel{(x-1)}(x-2)}{2\cancel{(x-1)} \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)}

Por tanto, nos quedaría

= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\cancel{(x-1)}(x-2)}{2\cancel{(x-1)} \cdot \left( x + \sqrt{3x-2} \right)} = \frac{(1-2)}{2(1+\sqrt{3 \cdot 1 -2})}=\frac{-1}{4}