Indeterminación 1 elevado a infinito

Uno elevado a infinito
Las indeterminaciones de tipo \displaystyle \fbox{1^{\infty}} están basadas en el número e y se pueden resolver de muchas formas.

Una de ellas es aplicando la siguiente fórmula (donde A puede ser un número o un infinito)

\lim_{x \rightarrow A} f(x)^{\displaystyle g(x)} = e^{\left[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow A} g(x) \cdot (f(x) -1) \right]}

Veamos un ejemplo:

\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{x+2} \right)^{\displaystyle 2x+1} = 1^{\infty}

Aplicamos la fórmula

\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{x+2} \right)^{\displaystyle 2x+1} =  e^{\left[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} (2x+1) \cdot \left( \frac{x}{x+2} -1 \right) \right]}

Hacemos las operaciones aparte

(2x+1) \cdot \left( \frac{x}{x+2} -1 \right) = (2x+1) \cdot \frac{x-(x+2)}{x+2} =
=(2x+1) \cdot \frac{-2}{x+2} = \frac{-4x-2}{x+2}

Entonces tenemos:

\lim_{x \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{x+2} \right)^{\displaystyle 2x+1} =  e^{\left[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-4x-2}{x+2} \right]} = e^{\displaystyle -4} = \frac{1}{e^4}