Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Considera la matriz
$\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 &1 \\ m &m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{array} \right)$

– a) Halla los valores del parámetro $m$ para los que el rango de A es menor que 3
– b) Estudia si el sistema
$A \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.

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Sea $f: R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x) = (3x-2x^2)\cdot e^x$

– (a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$
– (b) Calcula los extremos relativos de $f$ (abcisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

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– (a) Determina razonadamente los valores del parámetro $m$ para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

$\left. \begin{array}{ccc} 2x+y+z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array} \right\}$

– (b) Resuelve el sistema anterior para el caso $m = 0$ y para el caso $m = 1$ .

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Se considera la recta $r$ definida por $mx = y = z+2$ , $(m \neq 0)$ , y la recta $s$ definida por $\frac{x-4}{4} = y -1 = \frac{z}{2}$

– (a) Halla el valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son perpendiculares.
– (b) Deduce razonadamente si existe algún valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son paralelas.

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Dada la función $f$ definida, para $x \neq 0$ , por $f(x) = \frac{e^x+1}{e^x-1}$ determina las asíntotas de su gráfica.

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Sea $g : R \longrightarrow R$ la función definida por $g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x$ .

– (a) Esboza la gráfica de $g$
– (b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto de abscisa $x=2$
– (c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $g$ y el eje de abscisas.

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Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & k\\ k & 1 & 3\\ 1 & 7 & k \end{array} \right)$

– (a) Estudia el rango de $A$ en función de los valores del parámetro $k$ .
– (b) Para $k = 0$ , halla la matriz inversa de $A$ .

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Considera los puntos $A(2, 0, 1)$ , $B(-1, 1, 2)$ , $C(2, 2, 1)$ y $D(3, 1, 0)$ .

– (a) Calcula la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $B$ , $C$ y $D$
– (b) Halla el punto simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$ .

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica:

– El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f
– f tiene un mínimo local en el punto de abcisa x=1
– La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa x=2 tiene pendiente 1

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Se divide un segmento de longitud L=20 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble que la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima

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De entre todos los rectángulos cuya área mide $16 cm^2$ , determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{1}{x-1} & si & x < 0 \\ \\ x^2-3x-1 & si & x \geq 0 \end{array} \right.$

– a) Estudia la continuidad y dervabilidad
– b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos
– c) Esboza la gráfica de f

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Se sabe que la función $f: R \longrightarrow R$ definida por

$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$

tiene extremos relativos en (0,0) y en (2,2). Calcula a,b,c,d

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Una encuesta realizada por un banco muestra que el 60% de sus clientes tiene un préstamo hipotecario, el 50% tiene un préstamos personal y el 20% tiene un préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, un cliente de ese banco.

a) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos.
b) Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario, sabiendo que no tiene un préstamos personal.

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Considera el punto $A(1,-2,1)$ y la recta $r$ definida por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x+y &=&2 \\2x+y+z&=&7 \end{array} \right.$

– a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
– b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

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En un examen de Matemáticas se propone el siguiente problema:
"Indique dónde se alcanza el mínimo de la función $F(x,y)=6x+3y-2$ en la región determinada por las restricciones $2x+y \ge 6$ ; $2x+5y \le 30$ ; $2x-y \le 6$ ."

– (a) Resuelva el problema
– (b) Ana responde que se alcanza en $(1,4)$ y Benito que lo hace en $(3,0)$ . ¿Es cierto que el mínimo se alcanza en $(1,4)$ ?. ¿Es cierto que se alcanza en $(3,0)$ ?.

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(a) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:
$x+3y \le 12 ; \quad \frac{x}{3}+\frac{y}{5} \ge 1 ; \quad y \ge 1 ; \quad x \ge 0$

(b) Calcule los valores extremos de la función $F(x,y)=5x+15y$ en dicha región y dónde se alcanzan.

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Considera el punto $P(1,0,0)$ , la recta $r$ definida por $x-3=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-2}$ y la recta $s$ definida por $(x,y,z) = (1,1,0) + \lambda (-1, 2, 0)$ .

– (a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$
– (b) Halla la ecuación del plano que pasando por $P$ es paralelo a $r$ y $s$ .

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Se considera la recta r definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x &=&1 \\y&=&1 \\z&=&\lambda -2 \end{array} \right.$
y la recta s definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} x &=&\mu \\y&=&\mu-1 \\z&=&-1 \end{array} \right.$
Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s

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Sea la recta $r$ definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y &=&0 \\3x+z&=&0 \end{array} \right.$

– a) Determine la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,1,1)$
– b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades

📝 Ejercicios de Ejercicios_Resueltos