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La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:
distancias
1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son
,
y
. Forma los vectores
y
, comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es
y por tanto la superficie es
¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?
2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
![r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right. r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.](local/cache-TeX/3f647616191963cc5741cc9ada2f7168.png)
Y el lado de la puerta (donde está el
) es la recta de ecuación:
![s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right. s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.](local/cache-TeX/482dd3f194ca65445770a978394c2b84.png)
¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)
3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el
calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas
y
que forma los lados (
y
)
4) Halla el plano que contiene a la puerta
y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta
. Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.
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Considera las rectas
![r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3} \qquad \quad s \equiv
\left\{
2x -3 y = -5 \atop
y -2z = -1
\right.
r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3} \qquad \quad s \equiv
\left\{
2x -3 y = -5 \atop
y -2z = -1
\right.](local/cache-TeX/bcaf305dda9882a5fd124056a0f40410.png)
– a) Estudia y determina la posición relativa de
y
– b) Calcula la distancia entre
y ![s s](local/cache-TeX/03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png)
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Considera la recta ![r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1} r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}](local/cache-TeX/c051b1adb2f1eb52e9c2223cb47efc50.png)
y los planos
y ![\pi_2 \equiv y=0 \pi_2 \equiv y=0](local/cache-TeX/9423fbbd0c5ffea98599fc319c783c74.png)
– a) Halla los puntos de la recta
que equidistan de los planos
y
– b) Determina la posición relativa de la recta
y la recta de instersección de los planos
y ![\pi_2 \pi_2](local/cache-TeX/02fc6fab57d99e7a38e3a731de42063e.png)
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A la empresa de obras públicas North SA se le ha encargado la construcción de una autovía que una dos importantes ciudades andaluzas. El recorrido de la misma pasa por una montaña y por razones económicas se ha decidido atravesarla construyendo un túnel. Tú puedes echar una mano a los ingenieros implicados en el proyecto a la hora de afrontar los cálculos matemáticos necesarios para realizar la obra.
Se pide:
1. El túnel sigue la trayectoria marcada por los puntos A(-1,1,1) y B(1,2,1). Halla la recta que pasa por estos, a la cual vamos a llamar r.
2. Las laderas de la montaña vienen dadas por lo planos cuyas ecuaciones son:
y ![\beta \equiv 9x-y+6z=21 \beta \equiv 9x-y+6z=21](local/cache-TeX/2a16896f32c6ac40d1a87c93ac625aa5.png)
Halla los puntos de intersección de la recta r con los planos, vamos a nombrar a estos puntos como E(entrada) y S(salida).
3. Halla la longitud del túnel (distancia entre E y S).
4. En la cima de la montaña se va a trazar otra carretera cuya trayectoria viene determinada por la intersección de los planos
y
. Halla la intersección de los mismos, a la cual vamos a llamar s.
5 Para la ventilación del túnel se va a crear un pozo de impulsión que conecta la cima de la montaña con el túnel y se quiere saber cuál es la longitud del mismo, el pozo sigue la perpendicular que une las rectas r y s. Halla la distancia entre ambas rectas.
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Consideramos los puntos
,
y
.
– a) Calcula
(distancia entre los puntos A y B)
– b)
(producto escalar)
– c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
– d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C