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Hallar la distancia del punto $P(1,2,5)$ al plano $\pi \equiv 2x+2y-z-5=0$

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Halla la distancia del punto $P(3,4,5)$ a la recta $r \equiv x+1=\frac{y+2}{2}=\frac{z+5}{-1}$

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Halla la distancia entre los puntos $P(1,2,1)$ y $Q(5,2,7)$

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Halla la distancia entre las rectas paralelas:
$r \equiv \frac{x}{1}=\frac{y+3}{2} = \frac{z}{4}$
$s \equiv x=\frac{y-1}{2} = \frac{z}{4}$

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Halla la distancia entre las rectas:
$r \equiv \frac{x+3}{3}=\frac{y-9}{-2} = \frac{z-8}{-2}$
$s \equiv \frac{x-3}{-2}=\frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$

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Consideramos los puntos $A(1,1,0)$ , $B(0,1,2)$ y $C(1,1,1)$ .

– a) Calcula $d(A,B)$ (distancia entre los puntos A y B)
– b) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (producto escalar)
– c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
– d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

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La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:

1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son $A=(-5,-5,0)$ , $B=(-5,5,0)$ y $C=(5,-5,0)$ . Forma los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ , comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es $1=23 \: m$ y por tanto la superficie es $1=529 \: m^2$ ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?

2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
$r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.$
Y el lado de la puerta (donde está el $\vec{AC}$ ) es la recta de ecuación:
$s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.$

¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)

3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el $(0,0,6)$ calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas $u$ y $v$ que forma los lados ( $\vec{AD}$ y $\vec{CD}$ )

4) Halla el plano que contiene a la puerta $(0,-5,0)$ y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta $h$ . Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.

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Halla la distancia entre las rectas

$r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y - 1 = \dfrac{z - 2}{-3} \end{cases} \quad y \quad s \equiv \begin{cases} x - 1 = 1 - z \\ y = 0. \end{cases}$

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Calcula la distancia entre las rectas

$r \equiv \begin{cases} x = 6 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 5 - 7\lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} 2x - 3y + 1 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0. \end{cases}$

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Halla un punto $A$ de la recta $r$ de ecuación $x = y = z$ y un punto $B$ de la recta $s$ de ecuación $x = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z + 1}{2}$ de forma que la distancia entre $A$ y $B$ sea mínima.

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Calcula la distancia entre las rectas $r \equiv x = y = z$ y $s \equiv x - 1 = y - 2 = z - 3$ .

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Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones

$x = y = z \quad y \quad \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -\mu \end{cases}$

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Considera los puntos $A(-1, -2, -1)$ y $B(1, 0, 1)$ .

a) Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos $A$ y $B$ son simétricos.

b) Calcula la distancia de $P(-1, 0, 1)$ a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ .

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Considera el punto $P(2, -1, 3)$ y el plano $\pi$ de ecuación $3x + 2y + z = 5$ .
a) Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de $\pi$ .
b) Calcula la distancia de $P$ a $\pi$ .

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Considera los planos $\pi_1 \equiv x - y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y = 2$ .
a) Calcula la distancia entre la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$ y el punto $P(2,6,-2)$ .
b) Halla el ángulo que forman $\pi_1$ y $\pi_2$ .

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Considera la recta $r \equiv \dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 2}{2} = 3 - z$ y el punto $P(0, 2, -4)$ .

a) Calcula el punto de $r$ a menor distancia de $P$ .

b) Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $P$ sea igual a $\sqrt{50}$ .

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A la empresa de obras públicas North SA se le ha encargado la construcción de una autovía que una dos importantes ciudades andaluzas. El recorrido de la misma pasa por una montaña y por razones económicas se ha decidido atravesarla construyendo un túnel. Tú puedes echar una mano a los ingenieros implicados en el proyecto a la hora de afrontar los cálculos matemáticos necesarios para realizar la obra.

Se pide:

1. El túnel sigue la trayectoria marcada por los puntos A(-1,1,1) y B(1,2,1). Halla la recta que pasa por estos, a la cual vamos a llamar r.

2. Las laderas de la montaña vienen dadas por lo planos cuyas ecuaciones son:
$\alpha \equiv -9x-y+6z=21$ y $\beta \equiv 9x-y+6z=21$
Halla los puntos de intersección de la recta r con los planos, vamos a nombrar a estos puntos como E(entrada) y S(salida).

3. Halla la longitud del túnel (distancia entre E y S).

4. En la cima de la montaña se va a trazar otra carretera cuya trayectoria viene determinada por la intersección de los planos $\alpha$ y $\beta$ . Halla la intersección de los mismos, a la cual vamos a llamar s.

5 Para la ventilación del túnel se va a crear un pozo de impulsión que conecta la cima de la montaña con el túnel y se quiere saber cuál es la longitud del mismo, el pozo sigue la perpendicular que une las rectas r y s. Halla la distancia entre ambas rectas.

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Sea $r$ la recta de ecuaciones
$r \equiv \left\{ \begin{array}{ccc} 3x + 2y & = & 0 \\ 3x + z & = & 0 \end{array} \right.$

– (a) Halla los puntos de $r$ cuya distancia al origen es de $7$ unidades
– (b) Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,2,-1)$

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Considera el punto $A(1,-2,1)$ y la recta $r$ definida por las ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{lll} x+y &=&2 \\2x+y+z&=&7 \end{array} \right.$

– a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
– b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

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Sea la recta $r$ definida por
$\left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y &=&0 \\3x+z&=&0 \end{array} \right.$

– a) Determine la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1,1,1)$
– b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades

📝 Ejercicios de distancias