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📝 Ejercicios de geometría3D

  • 👁 Ver Solución (#3064)

    Sabiendo que las rectas

    r \equiv x=y=x \qquad y \qquad s \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = - \mu \end{array} \right.

    se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente, que están a mínima distancia.

  • 👁 Ver Solución (#3057)

    Considera el punto A(0, -3, 1) , el plano \pi \equiv 2x-2y+3z=0 y la recta r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}.

    – (a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.
    – (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a \pi y corta a r.

  • 👁 Ver Solución (#3058)

    Considera el punto A(0, -3, 1) , el plano \pi \equiv 2x-2y+3z=0 y la recta r \equiv x+3=y=\frac{z-3}{2}.

    – (a) Determina la ecuación del plano que pasa por A y contiene a r.
    – (b) Determina la ecuación de la recta que pasa por A, es paralela a \pi y corta a r.

  • 👁 Ver Solución (#3060)

    Se sabe que las rectas:

    r \equiv \left. \begin{array}{lll} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = b + t \end{array} \right\}
    y
    s \equiv \left. \begin{array}{lll} x - y + z = 3 \\ 6x + 2z = 2 \end{array} \right\}
    están contenidas en un mismo plano

    – (a) Calcula b
    – (b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s

  • 👁 Ver Solución (#3070)

    Se considera la recta r definida por mx = y = z+2 , (m \neq 0) , y la recta s definida por \frac{x-4}{4} = y -1 = \frac{z}{2}

    – (a) Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares.
    – (b) Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s son paralelas.

  • 👁 Ver Solución (#3074)

    Considera los puntos A(2, 0, 1) , B(-1, 1, 2) , C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0).

    – (a) Calcula la ecuación del plano \pi que contiene a los puntos B, C y D
    – (b) Halla el punto simétrico de A respecto del plano \pi.

  • 👁 Ver Solución (#4045)

    Considera el punto A(1,-2,1) y la recta r definida por las ecuaciones
    \left\{ \begin{array}{lll} x+y &=&2 \\2x+y+z&=&7 \end{array} \right.

    – a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
    – b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

  • 👁 Ver Solución (#3081)

    Considera el punto P(1,0,0) , la recta r definida por x-3=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-2} y la recta s definida por (x,y,z) = (1,1,0) + \lambda (-1, 2, 0).

    – (a) Estudia la posición relativa de r y s
    – (b) Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s.

  • 👁 Ver Solución (#4046)

    Se considera la recta r definida por
    \left\{ \begin{array}{lll} x &=&1 \\y&=&1 \\z&=&\lambda -2 \end{array} \right.
    y la recta s definida por
    \left\{ \begin{array}{lll} x &=&\mu \\y&=&\mu-1 \\z&=&-1 \end{array} \right.
    Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s

  • 👁 Ver Solución (#4047)

    Sea la recta r definida por
    \left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y &=&0 \\3x+z&=&0 \end{array} \right.

    – a) Determine la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1,1,1)
    – b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades

  • 👁 Ver Solución (#3105)

    Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta r de ecuaciones
    \left\{ \begin{array}{ll} x-2y+11=0 \\ 2y+z-19 = 0 \end{array} \right.
    y contiene a la recta s definida por
    \left\{ \begin{array}{lll} x= 1 - 5\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{array} \right.

  • 👁 Ver Solución (#3544)

    Considera los planos \pi_1 , \pi_2 y \pi_3 dados respectivamente por las ecuaciones
    x+y=1 , ay+z=0 y x+(1+a)y+az = a+1
    – a) ¿Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común?
    – b) Para a=0 , determina la posición relativa de los planos.

  • 👁 Ver Solución (#3543)

    Halla el punto simétrico de P(1,1,1) respecto de la recta r de ecuación
    \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}

  • 👁 Ver Solución (#3876)

    El punto M(1,-1,0) es el centro de un paralelogramo y A(2,1,-1) y B(0,-2,3) son dos vértices consecutivos del mismo.

    – (a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
    – (b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

  • 👁 Ver Solución (#3579)

    De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2, -1, 0) , B(-2, 1, 0) y C(0, 1, 2).

    – a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.
    – b) Halla el área de dicho paralelogramo.
    – c) Calcula el vértice D

  • 👁 Ver Solución (#3580)

    Considera el punto P(1,0,2) y la recta r dada por las ecuaciones
    \left\{ \begin{array}{lll} 2x-y-4=0 \\y+2z-8=0 \end{array} \right.
    – a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r
    – b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r

  • 👁 Ver Solución (#4394)

    Considera las rectas

    r \equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{m}=z \qquad \quad s \equiv \left\{ x+nz = -2 \atop y -z = -3 \right.

    – a) Halla los valores de m y n para los que r y s se cortan perpendicularmente.
    – b) Para m=3 y n=1, calcula la ecuación general del plano que contiene a r y s

  • 👁 Ver Solución (#3509)

    Dados los puntos A(1,1,0) y B(1,0-2), se pide:

    – a) Coordenadas del vector \vec{v} = \vec{AB}
    – b) Módulo del vector \vec{v}
    – c) Distancia entre los puntos A y B

  • 👁 Ver Solución (#2435)

    Comprueba que los siguientes vectores forman una base:
    \vec{u} (1,1,0) \quad \vec{v} (1,0,1) \quad \vec{w} (0,1,1)

  • 👁 Ver Solución (#2436)

    Comprueba que los siguientes vectores forman una base:
    \vec{u} (-1,1,1) \quad \vec{v} (1,-1,1) \quad \vec{w} (1,1,-1)