Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Considera la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{array} \right)$

– (a) Siendo $I$ la matriz identidad $3 x 3$ y $O$ la matriz nula $3 x 3$ , prueba que $A^3+I=O$
– (b) Calcula $A^{10}$

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Se sabe que la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & -a\\ 0 & -1 & 0 \\ b & 0 & b \end{array} \right)$
verifica que det(A) = 1 y sus columnas son vectores perpendiculares dos a dos.

– (a) Calcula los valores de $a$ y $b$ .
– (b) Comprueba que para dichos valores se verifica que $A^{-1} = A^t$ donde $A^t$ es la matriz traspuesta de A.

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Determina la matriz $X$ tal que $AX - 3B = O$ , siendo
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right)$

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Considera la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)$

– a) Calcula el determinante de las matrices $2A$ , $A^{31}$ y $(A^{31})^{-1}$
– b) Halla la matriz $A^{-1}$

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Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, $AX = -AX+B$ siendo

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right)$
,
$X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$

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Considera la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & \lambda & 1 \end{array} \right)$

– a) Determina para qué valores del parámetro $\lambda$ la matriz $A$ no tiene inversa
– b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $\lambda=-2$

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Determina $a$ , $b$ y $c$ sabiendo que la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} -3 & 1 & 1 \\ 1 & a & 2 \\ -1 & b & c \end{array} \right)$

verifica
$A \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 9 \\ 4 \end{array} \right)$
y rango(A) = 2

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ x & 1 & 0 \\ y & 0 & 0 \end{array} \right)$

– a) Calcula la matriz inversa de $A$
– b) Calcula $A^{127}$ y $A^{128}$
– c) Determina $x$ e $y$ tal que $AB = BA$

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 2 & 1-\alpha & 3 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} \alpha-1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & -\alpha & 0 \end{array} \right)$
,
$b = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 3 \end{array} \right)$
,
$c = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right)$
,
$X = \left( \begin{array}{c} -x \\ y \\ z \end{array} \right)$

Determina $\alpha$ , si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial)

$AX=b \qquad ; \qquad BX=c$

tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos).

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Considera la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right)$

– a) Halla los valores de $\alpha$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.
– B) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz $A^2$ para $\alpha = 0$

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Considera la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & t & 0 \\ t & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Calcula los valores de $t$ para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

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Determina una matriz $A$ simétrica ( $A$ coincide con su traspuesta) sabiendo que

$det(A) = -7$ $\qquad$ y $\qquad$ $A \cdot \left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -1 & -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -4 & -12 \\ 1 & 3 \end{array} \right)$

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Determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX = X-B$ siendo

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)$ $\qquad$ y $\qquad$
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array} \right)$

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Considera

$A = \left( \begin{array}{ccc} m & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -m \\ 3 & 2 & -2 \end{array} \right)$ $\qquad$ , $\qquad$
$X= \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ $\qquad$ y $\qquad$
$C= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

– a) ¿Para qué valores de $m$ tiene inversa la matriz $A$ ?
– b) Resuelve, para $m=2$ , el sistema de ecuaciones $AX = C$

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Denotamos por $M^t$ a la matriz traspuesta de una matriz $M$ . Considera

$A = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right)$ $\qquad$ , $\qquad$
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 3 \end{array} \right)$ $\qquad$ y $\qquad$
$C = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & -3 \\ -2 & 9 & -6 \\ 1 & -4 & 4 \end{array} \right)$

– a) Calcula $(AB)^t$ y $(BA)^t$
– b) Determina una matriz $X$ que verifique la relación $\frac{1}{2}X + (AB)^t = C$

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Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & k\\ k & 1 & 3\\ 1 & 7 & k \end{array} \right)$

y enuncia las propiedades que hayas usado

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Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$
y
$C = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

– (a) ¿Para qué valores de $m$ tiene solución la ecuación matricial $A \cdot X + 2B = 3C$ ?
– (b) Resuelve la ecuación matricial dada para $m=1$

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Considera las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right)$
y
$X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$

– (a) Siendo $I$ la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A+\lambda I$ no tiene inversa.
– (b) Resuelve el sistema $A \cdot X = 3X$ e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones.

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(a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 vale $-2$ ¿Cuánto vale el determinante de la matriz $4A$ ?

(b) Dada la matriz $B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)$
, ¿para qué valores de $\lambda$ la matriz $3B + B^2$ no tiene inversa?

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Dadas las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & -1 \end{array} \right)$
y
$B = \left( \begin{array}{ccc} -5 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -3 \end{array} \right)$

halla la matriz $X$ que cumple $A \cdot X = (B \cdot A^t)^t$

📝 Ejercicios de matrices