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📝 Ejercicios de matrices

👁 Ver (#3243) Seleccionar

Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ m^2 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{array} \right)$
, se pide:

– (a) Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.
– (b) Calcula, si es posible la matriz inversa de $A$ para $m=2$
👁 Ver (#3244) Seleccionar

Sean $C_1$ , $C_2$ y $C_3$ las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:
– (a) El determinante de $A^3$ .
– (b) El determinante de $A^{-1}$ .
– (c) El determinante de $2A$ .
– (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, $3C_1 - C_3$ , $2C_3$ y $C_2$ .
👁 Ver (#3246) Seleccionar

Considera la matriz
$M(x) = \left( \begin{array}{ccc} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

(a) ¿Para qué valores de $x$ existe $(M(x))^{-1}$ ?. Para los valores de $x$ obtenidos, calcula la matriz $(M(x))^{-1}$ .

(b) Resuelve, si es posible, la ecuación $M(3) \cdot M(x) = M(5)$ .
👁 Ver (#3247) Seleccionar

Considera las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & a-m \end{array} \right)$ ,
$B = \left( \begin{array}{c} 1\\ -1 \\ 3 \end{array} \right)$ y
$X = \left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z \end{array} \right)$

– (a) ¿Para qué valores de $m$ existe la matriz $A^{-1}$ ?
– (b) Siendo $m=2$ , calcula $A^{-1}$ y resuelve el sistema $A \cdot X = B$
– (c) Resuelve el sistema $A \cdot X = B$ para $m=1$
👁 Ver (#3250) Seleccionar

Sabiendo que
$\left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ t & u & v \\ a & b & c \end{array} \right| = -6$ ,

calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

(a) $\left| \begin{array}{ccc} -3x & -y & -z \\ 3t & u & v \\ 3a & b & c \end{array} \right|$

(b) $\left| \begin{array}{ccc} -2y & x & z \\ -2u & t & v \\ -2b & a & c \end{array} \right|$

(c) $\left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ t & u & v \\ 2x-a & 2y-b & 2z-c \end{array} \right|$
👁 Ver (#3252) Seleccionar

– (a)Sabiendo que la matriz
$A =\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & a-1 & a \end{array} \right)$
tiene rango 2, ¿cuál es el valor de $a$ ?

– (b) Resuelve el sistema de ecuaciones

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & -6 & -5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)$
👁 Ver (#2418) Seleccionar

Con sidera
$A = \left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ 0 & -a \end{array} \right)$ , siendo $a$ un número real

– a) Calcula el valor de $a$ para que $A^2-A = \left( \begin{array}{cc} 12 & -1 \\ 0 & 20 \end{array} \right)$ .
– b) Calcula, en función de $a$ , los determinantes de $2A$ y $A^t$ , siendo $A^t$ la traspuesta de $A$ .
– c) ¿Existe algún valor de $a$ para el que la matriz $A$ sea simétrica? Razona la respuesta.
👁 Ver (#2419) Seleccionar

Resuelve

$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$
👁 Ver (#2416) Seleccionar

Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} x & 1 \\ 1 & x+1 \end{array} \right)$
$\qquad$
$B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$

– a) Encuentre el valor o valores de x de forma que $B^2 = A$
– b) Igualmente para que $A - I_2 = B^{-1}$
– c) Determine x para que $A \cdot B = I_2$
👁 Ver (#3269) Seleccionar

Sean las matrices
$A =\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ ,
$B =\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ x & 0 \end{array} \right)$ y
$C =\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$

– (a) Encuentre el valor o valores de $x$ de forma que $B^2=A$
– (b) Igualmente para $B+C=A^{-1}$
– (c) Determine $x$ para que $A+B+C=3 \cdot I_2$
👁 Ver (#3270) Seleccionar

Sean las matrices
$A =\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{array} \right)$ ,

$X =\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ -2 \end{array} \right)$ e

$Y =\left( \begin{array}{cc} -x \\ 2 \\ z \end{array} \right)$

– (a) Determine la matriz inversa de $A$
– (b) Halle los valores de $x$ , $y$ , $z$ para los que se cumple $A \cdot X = Y$
👁 Ver (#3267) Seleccionar

– (a) Calcula el valor de $m$ para el que la matriz
$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & m\end{array} \right)$
verifica la relación $2A^2-A=I$ y determina $A^{-1}$ para dicho valor de $m$

– (b) Si $M$ es una matriz cuadrada que verifica la relación $2M^2-M=I$ , determina la expresión de $M^{-1}$ en función de $M$ y de $I$ .
👁 Ver (#2458) Seleccionar

Considera la matriz
$\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 &1 \\ m &m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{array} \right)$

– a) Halla los valores del parámetro $m$ para los que el rango de A es menor que 3
– b) Estudia si el sistema
$A \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.
👁 Ver (#3073) Seleccionar

Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & k\\ k & 1 & 3\\ 1 & 7 & k \end{array} \right)$

– (a) Estudia el rango de $A$ en función de los valores del parámetro $k$ .
– (b) Para $k = 0$ , halla la matriz inversa de $A$ .
👁 Ver (#3371) Seleccionar

Sean las matrices:
$P = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ a & 0 \end{array} \right)$ ,
$Q = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 5 \\ 8 & 4 & b \end{array} \right)$ y
$R = \left( \begin{array}{ccc} c & d & 6 \\ 10 & 10 & 50 \end{array} \right)$

– a) Calcule, si es posible, $P \cdot Q$ y $Q \cdot P$ , razonando la respuesta
– b) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que $P \cdot 2Q = R$ ?
👁 Ver (#3287) Seleccionar

Sean las matrices

$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array} \right)$
,
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)$
y
$C = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right)$

Calcula la matriz $X$ que cumpla la ecuación $AXB = C$
👁 Ver (#3433) Seleccionar

Considera las matrices:

$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)$
$\qquad$ y $\qquad$
$B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)$

– a) ¿Hay algún valor de $\lambda$ para el que $A$ no tiene inversa?
– b) Para $\lambda=1$ , resuelve la ecuación matricial $A^{-1}XA = B$
👁 Ver (#3295) Seleccionar

Dadas las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

– a) Calcula el rango de $A$ dependiendo de los valores de $\alpha$
– b) Para $\alpha=2$ , resuelve la ecuación matricial $A^tX=B$
👁 Ver (#3296) Seleccionar

Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ - \alpha & 3 \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{array} \right)$

– a) Calcula los valores de $\alpha$ para los que la matriz inversa de A es $\frac{1}{12}A$
– b) Para $\alpha=-3$ , determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $A^tX=B$ , siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ .
👁 Ver (#3893) Seleccionar

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son $|A|=\frac{1}{2}$ y $|B|=-2$ . Halla:

– a) $|A^3|$
– b) $|A^{-1}|$
– c) $|-2A|$
– d) $|AB^t|$
– e) rango(B)

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