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📝 Ejercicios de selectividad

  • 👁 Ver (#3958)  Ver Solución

    Dadas las matrices A = \left( \begin{array}{ccc} 2-m & 1 & 2m-1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{array} \right) , X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) , B = \left( \begin{array}{c} 2m^2-1 \\ m \\ 1 \end{array} \right) , considera el sistema de ecuaciones lineales dado por X^tA=B^t, donde X^t , B^t denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de m

  • 👁 Ver (#3954)  Ver Solución

    Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1,0) , B(1,0,2) y C(0,2,1.

    – a) Halla el área de dicho triángulo.
    – b) Calcula el coseno del ángulo en el vértice A

  • 👁 Ver (#4425)  Ver Solución

    El 65% de los turistas que visitan una provincia elige alojamientos en la capital y el resto en zonas rurales. Además, el 75 % de los turistas que se hospedan en la capital y el 15 % de los que se hospedan en zonas rurales, lo hacen en hoteles, mientras que el resto lo hace en apartamentos turísticos. Se elige al azar un turista de los que se han alojado en esa provincia.
    – a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en un hotel?
    – b) Si se sabe que se ha hospedado en un apartamento turístico, ¿cuál es la probabilidad de que el apartamento esté en zonas rurales?

  • 👁 Ver (#4426)  Ver Solución

    El 69 % de los habitantes de una determinada ciudad ven series, el 35 % películas y el 18 % no ven ni series ni películas. Se elige al azar un habitante de la ciudad.

    – a) Calcule la probabilidad de que vea series o películas.
    – b) Sabiendo que ve series, calcule la probabilidad de que vea películas.
    – c) ¿Cuál es la probabilidad de que vea series y no vea películas?

  • 👁 Ver (#4616)  Ver Solución

    Se consideran las siguientes inecuaciones:

    5x - 4y \leq -19 \qquad 3x - 4y \leq -13 \qquad x \geq -7 \qquad -x-y \geq 2

    a) Represente la región factible defnida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.

    b) ¿Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función
    G(x, y) = -\frac{1}{5}x + \frac{5}{2}y en la citada región factible? ¿Cuál es su valor?.

    c) Responda de forma razonada si la función G(x, y) = -\frac{1}{5}x + \frac{5}{2}y puede alcanzar el valor \frac{47}{3} en la región factible hallada.

  • 👁 Ver (#4617)  Ver Solución

    Un laboratorio farmacéutico tiene una línea de producción con dos medicamentos A y B, con marca comercial y genérico respectivamente, de los cuales, entre los dos como máximo puede fabricar 10 unidades a la hora. Desde el punto de vista del rendimiento, se han de producir al menos 4 unidades por hora entre los dos y por motivos de política sanitaria, la producción de A ha de ser como mucho 2 unidades más que la de B.
    Cada unidad de tipo A que vende le produce un beneficio de 60 euros, mientras que cada unidad de tipo B le produce un beneficio de 25 euros. Si se vende todo lo que se produce, determine las unidades de cada medicamento que deberá fabricar por hora para maximizar su beneficio y obtenga el valor de dicho beneficio.

  • 👁 Ver (#4614)  Ver Solución

    Se consideran las matrices
    A=\left( \begin{array}{ccc} a & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right) \: \: , \: \:B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \: \quad y \: C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \end{array} \right)

    a) Calcule el valor del parámetro a para que la matriz A no tenga inversa.
    b) Para a = 3, resuelva la ecuación matricial X \cdot A - X \cdot B = C .
    c) Para a = 3, compruebe que A^2 = 11 \cdot A y exprese A^8
    en función de la matriz A.

  • 👁 Ver (#4615)  Ver Solución

    Se considera la matriz A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & a \end{array} \right)

    a) Determine para qué valores del parámetro a , la matriz A tiene inversa.
    b) Para a = 1, calcule la inversa de A.
    c) Para a = 1, resuelva la ecuación matricial A \cdot X = B^t , siendo B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \end{array} \right)

  • 👁 Ver (#4377)  Ver Solución

    a) Dadas las inecuaciones
    y \leq x + 5, \qquad 2x + y \geq -4, \qquad 4x \leq 10 -y, \qquad y \geq 0
    represente el recinto que limitan y calcule sus vértices.
    b) (0.7 puntos) Obtenga el máximo y el mínimo de la función f(x,y) =x+ \frac{1}{2}y en el recinto anterior, así como los puntos en los que se alcanzan.

  • 👁 Ver (#2697)  Ver Solución

    El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de 50 años de vida viene dado por la expresión B(t)=\left\{ \begin{array}{lr} -0.04t^2+2.4t & 0 \leq t < 40 \\ & \\ \frac{40t-320}{t} & 40 \leq t \leq 50 \end{array} \right.
    donde t es el tiempo transcurrido.

    – a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función B(t) en el intervalo [0,50].
    – b) Estudie la monotonía de la función B(t) y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.
    – c) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.

  • 👁 Ver (#2420) solución en PIZARRA  Ver Solución

    Se consideran las matrices
    A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \lambda \\1 & -1 &-1 \end{array} \right)
    ,
    B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\\lambda & 0 \\0 & 2 \end{array} \right)
    donde \lambda es un número real.

    – a) Encontrar los valores de \lambda para los que la matriz AB tiene inversa
    – b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema A \left( \begin{array}{c} x \\y \\z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\b \end{array} \right) compatible determinado con A la matriz del enunciado?.

  • 👁 Ver (#2427) solución en PIZARRA  Ver Solución

    Teniendo en cuenta que
    \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array} \right| = 7 ,

    calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo

    \left| \begin{array}{ccc} 3a & 3b & 3c \\ a+p & b+q & c+r \\ -x+a & -y+b & -z+c \end{array} \right|

  • 👁 Ver (#2428) solución en PIZARRA  Ver Solución

    La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos
    ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuantos partidos gano, empató y perdió el equipo campeón?

  • 👁 Ver (#2593)  Ver Solución

    Sea f : R \rightarrow R la función definida por f(x)=e^x(ax+b) , donde a y b son números reales.

    – a) Calcule los valores de a y b para que la función tenga un extremo relativo en el punto (3,e^3)
    – b) Para los valores de a y b obtenidos, diga qué tipo de extremo tiene la función en el punto citado.

  • 👁 Ver (#2421)

    Dadas las matrices A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array} \right) y
    B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{array} \right)

    – a) Calcule A \cdot B y B \cdot A
    – b) Compruebe que (A+B)^2 = A^2 + B^2

  • 👁 Ver (#2423)

    Dadas las matrices A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array} \right) y
    B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{array} \right) , averigüe si existe una matric C que verifique B \cdot C = A , y en su caso, calcúlela.

  • 👁 Ver (#2594) solución en PIZARRA  Ver Solución

    a) Hallar los valores de ay b para que la función
    f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} 3x+2 & si & x < 0\\ x^2+2acosx & si & 0 \leq x < \pi\\ ax^2+b & si & x \geq \pi \end{array} \right.
    sea continua para todo valor de x

    b) Estudia la derivabilidad para los anteriores valores de a y b

  • 👁 Ver (#2417)  Ver Solución

    Se consideran las matrices
    A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\3 & -1 \end{array} \right)
    y
    B = \left( \begin{array}{cc} 4 & 20 \\16 & 5 \end{array} \right)

    – a) Calcule A^2 y (A^ 2)^{-1}
    – b) Despeje X de la ecuación matricial A^2X = B
    – C) Calcule X

  • 👁 Ver (#2457)  Ver Solución

    Discute el siguiente sistema en función de los valores del parámetro a
    \left. \begin{array}{ccc} ax+2y+6z & = & 0 \\ 2x + ay+ 4z & = & 2 \\ 2x + ay+ 6z & = & a-2 \end{array} \right\}

  • 👁 Ver (#2456)

    Discute el siguiente sistema en función de los valores del parámetro a
    \left. \begin{array}{ccc} x+y+2z & = & a \\ x- ay+z & = & a \\ x-y+z & = & a \end{array} \right\}