Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Dadas las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

– a) Calcula el rango de $A$ dependiendo de los valores de $\alpha$
– b) Para $\alpha=2$ , resuelve la ecuación matricial $A^tX=B$

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Sean las matrices
$A = \left( \begin{array}{cc} \alpha & 1 \\ - \alpha & 3 \end{array} \right)$

$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{array} \right)$

– a) Calcula los valores de $\alpha$ para los que la matriz inversa de A es $\frac{1}{12}A$
– b) Para $\alpha=-3$ , determina la matriz $X$ que verifica la ecuación $A^tX=B$ , siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$ .

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Un estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cena viendo la televisión. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y, para ello, se toma una muestra de 500 familias, en la que se observa que 340 ven la televisión mientras cenan. Decida, mediante un contraste de hipótesis, si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0.01.

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Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{rcc} 2x-2y+4z & = & 4 \\ 2x + z & = & a \\ -3x -3y+ 3z & = & -3 \end{array} \right\}$

– a) Discútelo según los valores del parámetro $a$
– b) Resuélvelo cuando sea posible

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En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 a ños, los ingresos vienen dados por la fórmula $-x^2 + 70x$ , mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la expresión,

$\frac{400x}{x-30}$

Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a qué edad se alcanza.

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Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones:

$x+y \ge 2$ , $\: x+3y \le 15$ , $\: 3x-y \le 15$ , $\: x \ge 0$ , $\: y \ge 0$

– (a) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices
– (b) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función $F(x,y)=3x+y$ en dicho recinto
– (c) Razone si existen puntos (x,y) del recinto, para los que $F(x,y)=30$

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En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma suene es 0.95. La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de 0.03.

– a) ¿Cuál es la probabilidad de que suene la alarma?
– b) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente.

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Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son $|A|=\frac{1}{2}$ y $|B|=-2$ . Halla:

– a) $|A^3|$
– b) $|A^{-1}|$
– c) $|-2A|$
– d) $|AB^t|$
– e) rango(B)

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Sean las matrices
$A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad \quad B=\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$

a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos:

– a1) $A \cdot A^t$
– a2) $A^t \cdot A$
– a3) $A \cdot B$

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$

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Sean $A$ y $B$ dos sucesos aleatorios tales que:
$P(A)=0.4$ , $P(B)=0.5$ y $P(A \cap B)=0.2$

– a) Calcule razonadamente las probabilidades $P(A \cup B)$ , $P(A/B)$ y $P(B/A^c)$

– b) Razone si $A$ y $B$ son sucesos incompatibles.
– c) Razone si $A$ y $B$ son independientes

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Dado el sistema de ecuaciones lineales
$\left. \begin{array}{rcc} - \lambda x + y+ z & = & 1 \\ x + \lambda y +z & = & 2 \\ \lambda x + y+ z & = & 1 \end{array} \right\}$

– a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro $\lambda$
– b) Resuelve el sistema para $\lambda = 0$

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Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{cc} \lambda +1 & 0 \\ 1 & -1 \end{array} \right)$

– a) Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A^2+3A$ no tiene inversa.
– b) Para $\lambda =0$ , halla la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 2.

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Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a $54 \: m^2$ . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que este tenga volumen máximo.

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Sea la función $f \: : \: R \: \longrightarrow \: R$ definida por $f(x)=e^x (x^2-x+1)$

– a) Calcula $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ y $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)$
– b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
– c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de $f$ .

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En un congreso de 200 jóvenes profesionales se pasa una encuesta para conocer los hábitos en cuanto a contratar los viajes por internet. Se observa que 120 son hombres y que, de estos, 84 contratan los viajes por internet, mientras que 24 de las mujeres no emplean esa vía.
Elegido un congresista al azar, calcule la probabilidad de que:
– a) No contrate sus viajes por internet.
– b) Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer.
– c) Sea hombre, sabiendo que contrata sus viajes por internet.

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Considera las matrices
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \qquad C = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)$
Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $AXB = C^t$ , siendo $C^t$ la matriz traspuesta de $C$

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El punto $M(1,-1,0)$ es el centro de un paralelogramo y $A(2,1,-1)$ y $B(0,-2,3)$ son dos vértices consecutivos del mismo.

– (a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
– (b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

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Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas
blancas y 4 negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3
bolas blancas y 7 negras. Calcule:
– a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.
– b) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B.
– c) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca.

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Un informe de un Ayuntamiento afirma que al menos el 26% de los usuarios del carril bici habrían utilizado el coche particular para sus desplazamientos de no haber existido dicho carril. Sin embargo, un periódico local anuncia la falsedad del dato, informando que una encuesta propia indica que solo 240 de los 1000 usuarios encuestados afirman que habrían utilizado el coche particular.

– a) Establezca un contraste, con hipótesis nula $H_0: p \geq 0.26$ , para verificar la afirmación del Ayuntamiento e indique la región crítica de dicho contraste para un nivel de significación del 5%.
– b) Con este nivel de significación ¿podría aceptarse el informe del Ayuntamiento?

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Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C, que fabrican, respectivamente, el 60%, 30% y 10% de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de C son defectuosos. Elegido, al azar, un artículo de los que se fabrican en la empresa:
– a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C?
– b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?
– c) Si sabemos que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A?

📝 Ejercicios de Ejercicios_Resueltos