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📝 Ejercicios de geometría3D

  • 👁 Ver Solución (#2651)

    Comprueba mediante más de un método si los siguientes puntos están alineados:
    A(1,-2,1) \: ; \:B(2,3,0) \: ; \:C(,1,0,-4) \:

  • 👁 Ver Solución (#2652)

    Los puntos A(1,3,-1) , B(2,0,2) y C(4,-1,-3) son los vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla el cuarto vértice y el centro del paralelogramo

  • 👁 Ver Solución (#3635)

    Dadas las rectas
    R_1 \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x+y-2z=0 \\2x-3y+z-1=0 \end{array} \right. y R_2 \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x= 3 \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 2 +\lambda \end{array} \right.
    – a) Halla los puntos de corte entre R_2 y el plano \pi : x-3y-2z=2
    – b) Halla la ecuación de un plano que sea perpendicular a R_1 y que pase por el punto de corte hallado en el apartado a)

  • 👁 Ver Solución (#3918)

    Considera los puntos A(1,0,2) , B(-1,3,1) y C(2,1,2)

    – (a) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C
    – (b) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

  • 👁 Ver Solución (#3995)

    Dados los puntos A(1,2,3), B(1,0,0) y C(0,1,1), se pide:

    – a) Ecuación del plano \pi que pasa por A, B y C
    – b) Vector normal al plano \pi
    – c) Ecuación de una recta perpendicular al plano \pi y que pase por el punto (0,0,1)

  • 👁 Ver Solución (#3993)

    Dados los puntos A(1,1,0) y B(0,2,-1), escriba las ecuaciones paramétricas, continua e implícitas de la recta que pasa por los puntos A y B

  • 👁 Ver Solución (#3992)

    Dados los vectores \vec{u}=(2,-1,5) , \vec{v}=(1,-8,7) y \vec{w}=(1,1,0) , se pide:

    – a) ¿Son linealmente dependientes los 3 vectores?
    – b) Calula \vec{u} \times \vec{w} (producto vectorial)
    – c) Encuentra dos vectores paralelos al vector \vec{u}
    – d) Encuentra dos vectores perpendiculares al vector \vec{u}
    – e) Halla el ángulo que forman los vectores \vec{u} y \vec{v}

  • 👁 Ver Solución (#3372)

    Calcula las coordenadas de un vector \vec{a} de módulo 5 que sea perpendicular al mismo tiempo a los vectores \vec{b}= (2, -3, 0) y \vec{c}= (1, -4, 1), expresados respecto de la misma base ortonormal que el vector \vec{a}

  • 👁 Ver Solución (#4077)

    Dados los vectores \vec{u}=(-2,1,5) , \vec{v}=(3,-1,7) y \vec{w}=(1,2,0) , se pide:

    – a) ¿Son linealmente dependientes los 3 vectores?
    – b) Calula \vec{u} \times \vec{w} (producto vectorial)
    – c) Encuentra dos vectores paralelos al vector \vec{u}
    – d) Encuentra dos vectores perpendiculares al vector \vec{u}
    – e) Halla el ángulo que forman los vectores \vec{u} y \vec{v}

  • 👁 Ver Solución (#3991)

    Consideramos los puntos A(1,1,0) , B(0,1,2) y C(1,1,1).

    – a) Calcula d(A,B) (distancia entre los puntos A y B)
    – b) \vec{AB} \cdot \vec{AC} (producto escalar)
    – c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
    – d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

  • 👁 Ver Solución (#2430)

    Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
    (x, y, z) = (3, -1, 2) + t (-2, 3, 2)

  • 👁 Ver Solución (#2431)

    Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
    r \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x=3-2t \\y = -1+3t \\z = 2+2t \end{array} \right.

  • 👁 Ver Solución (#2432)

    Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
    \frac{x-3}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{2}

  • 👁 Ver Solución (#2433)

    Halla dos puntos y dos vectores directores de la recta
    r \equiv \left\{ \begin{array}{lll} 3x+2y-7=0 \\2x+2z-10=0 \end{array} \right.

  • 👁 Ver Solución (#2429)

    Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2,3,5) , B(1,1,2) y C(3,6,10)

  • 👁 Ver Solución (#4080)

    Dados los puntos A(1,-2,5), B(1,0,1) y C(0,-1,1), se pide:

    – a) Ecuación del plano \pi que pasa por A, B y C
    – b) Vector normal al plano \pi
    – c) Ecuación de una recta perpendicular al plano \pi y que pase por el punto (0,0,1)

  • 👁 Ver Solución (#4571)

    La Gran Pirámide de Guiza (también conocida como Pirámide de Keops o de Jufu) es la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún perdura, además de ser la mayor de las pirámides de Egipto. Ayúdanos a conocer un poco más de la Gran Pirámide, siguiendo los siguientes pasos:

    1) La base de la pirámide está formada por los cuatro puntos de los cuales tres puntos son A=(-5,-5,0), B=(-5,5,0) y C=(5,-5,0). Forma los vectores \vec{AB} y \vec{AC}, comprueba que son linealmente independientes y calcula el área del paralelogramo que forman haciendo uso del producto vectorial. Sabiendo que la longitud es 1=23 \: m y por tanto la superficie es 1=529 \: m^2 ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene la Gran Pirámide?

    2) Si la vertical del centro de la pirámide sigue esta ecuación:
    r \equiv \left\{ x=0 \atop y=0 \right.
    Y el lado de la puerta (donde está el \vec{AC}) es la recta de ecuación:
    s \equiv \left\{ y=-5 \atop z=0 \right.

    ¿Cuántos metros hay de la puerta al centro de la pirámide, O? Demuéstralo con la distancia entre dos rectas (1=23 m)

    3) Sabiendo que la cúspide (D) está en el (0,0,6) calcular las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las dos rectas u y v que forma los lados (\vec{AD} y \vec{CD})

    4) Halla el plano que contiene a la puerta (0,-5,0) y es un lado de la pirámide. Halla el plano que es vertical y contiene a la puerta y al centro O. Interseca ambos planos obteniendo la ecuación de la recta h. Comprueba que es la misma recta que pasa por la puerta y la cúspide D.

  • 👁 Ver Solución (#3994)

    Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

    a) \left\{ \begin{array}{lll} x=1+\lambda \\ y=-2+2\lambda \\ z=\lambda \end{array} \right.

    b) \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}

    c) \left\{ \begin{array}{ll} x+y+z=1 \\ x-y-z=-3 \end{array} \right.

  • 👁 Ver Solución (#4079)

    Encuentra dos puntos y dos vectores directores de las siguientes rectas:

    a) \left\{ \begin{array}{lll} x=3+2\lambda \\ y=-2+\lambda \\ z=-1+\lambda \end{array} \right.

    b) \frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{3}

    c) \left\{ \begin{array}{ll} x+y-z=4 \\ x-y-2z=-5 \end{array} \right.

  • 👁 Ver Solución (#3909)

    Considere las siguientes rectas:

    r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} y
    s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}

    a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
    b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.